Réponse :
Explications étape par étape
1)
[tex]f(x)=\frac{-x^2-2x}{(x^2+x+1)^2} ; F(x)=\frac{x+1}{x^2+x+1} \\[/tex]
On va dériver F(x) pour vérifier que sa dérivée est bien f(x)
F(x) est de la forme u(x)/v(x)
[tex]u(x)=x+1\quad\quad u'(x)=1\\v(x)=x^2+x+1\quad\quad v'(x)=2x+1\\\\F'(x)=\frac{(x^2+x+1) -(x+1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2} \\=\frac{x^2+x+1-(2x^2+x+2x+1)}{(x^2+x+1)^2} \\=\frac{x^2+x+1-2x^2-3x-1}{(x^2+x+1)^2}\\=\frac{-x^2-2x}{(x^2+x+1)^2}=f(x)[/tex]
2)
En x=2
F(2)=3/7
F'(2)=f(2)=-8/49
Équation de la tangente : y=8/49(x-2)+3/7=8x/49 -16/49+21/49
y=8x/49 +5/49
3)
G(x)=F(x) + C
G(2) = 0 ==> C=-3/7
[tex]G(x)=\frac{x+1}{x^2+x+1}-\frac{3}{7} \\[/tex]
4)
G'(x)=f(x) qui s'annule pour x=-2 et x=0 et qui est positive entre les racines
[tex]\left[\begin{array}{c|ccccccc}x&-\infty&&-2&&0&&+\infty\\G'(x)=f(x)&&-&0&+&0&-\\G(x)&-\frac{3}{7}&\searrow&-\frac{16}{21} &\nearrow&\frac{4}{7} &\searrow&-\frac{3}{7} \end{array}\right] \\[/tex]
