Bonjour,
Fn = 2^(2^n) + 1 (désolé on ne peut pas écrire 2 couches d'exposants ici)
1)
Fn+k - 1
= 2^(2^(n+k)
= 2^(2^n x 2^k)
= [2^(2^n)]^(2k) (en appliquant a^(pq) = (a^p)^a
= (Fn - 1)^(2k)
2) Fn = 2^(2^n) + 1
⇒ Fn - 1 ≡ -1 [Fn]
⇒ (Fn - 1)^(2k) ≡ (-1)^(2k) [Fn]
⇔ Fn+k - 1 ≡ 1 [Fn] (car (-1)^(2k) = 1)
⇒ Fn+k ≡ 2 [Fn]
3) on en déduit :
Fn+k = K x Fn + 2
2 n'est divisible que par 1 et par 2
Donc il faudrait : Fn+k = 2Fn
soit 2^(2^(n+k)) = 2 x 2^(2^n) + 1
ce qui est impossible car Fn et Fn+k sont pairs
