Bonjour,
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Rappels de cours :
a) Soit E un ℝ-e.v. Soit F⊂E
Alors F est un s.e.v de E si 0∈F et si ∀(λ,u,v)∈ℝ×F², λ·u+v∈F
b) Un s.e.v d'un ℝ-e.v est un ℝ-e.v
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6. Soit x∈ℝ
0(x) = 0 = 0cos(x)+0sin(x), d'où [tex]0_{\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})} \in E_6[/tex]
Soit λ∈ℝ. Soit (f,g)∈(E₆)² tel que f(x) = acos(x)+bsin(x) et g(x) = a'cos(x)+b'sin(x)
Alors (λ·f+g)(x) = λ·f(x)+g(x) = λ(acos(x)+bsin(x))+(a'cos(x)+b'sin(x)) = λacos(x)+λbsin(x)+a'cos(x)+b'sin(x) = (λa+a')cos(x)+(λb+b')sin(x), or λa+a',λb+b'∈ℝ, d'où λ·f+g∈E₆
Ainsi, E₆ est un s.e.v de ℱ(ℝ,ℝ), donc E₆ est un ℝ-e.v.
7. Soit t∈ℝ
Soient la fonction réelles f définie par f(t) = cos(0)
Alors f∈E₇. En effet, on trouve f(t) = cos(at+φ) en prenant a = 0 et φ = 0
(2·f)(t) = 2·f(t) = 2cos(0) = 2, mais pour tous réels a et φ, cos(at+φ)∈[-1, 1], d'où 2·f∉E₇
Ainsi, E₇ n'est pas un s.e.v de ℱ(ℝ,ℝ), donc E₇ n'est pas un ℝ-e.v.
8. On note [tex]0_{\matcal{M}_2(\mathbb{R})}[/tex] la matrice carrée nulle.
Alors [tex]det(0_{\matcal{M}_2(\mathbb{R})})=0*0-0*0=0 \neq 1[/tex], d'où [tex]0_{\matcal{M}_2(\mathbb{R})}\notin E_8[/tex]
Ainsi, E₈ n'est pas un s.e.v de ℳ₂(ℝ), donc E₈ n'est pas un ℝ-e.v.
9. Soit (x,y,z)∈ℝ³
(1,-1,-1)∈E₉, car il vérifie l'équation x+z = 0
Également, (2,1,0)∈E₉, car il vérifie l'équation x-2y+z = 0
Pourtant, (1,-1,-1)+(2,1,0) = (3,0,-1) ne vérifie ni l'équation x-2y+z = 0, ni l'équation x+z = 0, d'où (1,-1,-1)+(2,1,0)∉E₉
Ainsi, E₉ n'est pas un s.e.v de ℝ³, donc E₉ n'est pas un ℝ-e.v.
