Bonjour,
j'ai pas sous la main le "d rond" pour les dérivées partielles, donc je vais noter d tout court...
df/dx = 2ln(y)x + 2 + sin(y² - 1)
df/dy = x²/y - 2ch²(x)/sh²(x) + 2xycos(y² - 1)
sachant : (sh(x))' = ch(x), (ch(x))' = sh(x), (ln(x))'= 1/x et (sin(u))' = u'cos(u)
2) f(x,y) = e^(x² + y²)
grad f(x,y) = (df/dx)i + (df/dy)j
avec df/dx = 2xe^(x² + y²) et df/dy = 2ye^(x² + y²)
L₀ : M(x,y) / f(x,y) = 0 ⇒ e^(x² + y²) = 0 ⇒ ∅ (je pense qu'on peut aller au-delà avec les dérivées secondes mais j'ai oublié....)
L₁ : e^(x² + y²) = 1 ⇒ x² + y² = 0 ⇒ point O(0;0)
Le^4 : e^(x² + y²) = e⁴ ⇒ x² + y² = 4 = 2² ⇒ cercle de centre O(0;0) et de rayon R = 2
Ex 6)
M(3;-1) ∈ L₁₀ ⇒ f(3,-1) = 10
et (df/dx, df/dy) (3,-1) = (2,-1)
1) Tgte à L₁₀ en (3;-1) : df/dx(3,-1) * (x - 3) + df/dy(3,-1) * (y + 1) = 0
soit : 2(x - 3) - (y + 1) = 0 ⇔ 2x - y - 7 = 0
2) plan tgt :
z = 2x - y - 7 + f(3,-1)
⇔ z = 2x - y - 7 + 10
⇔ 2x - y - z + 3 = 0
