Réponse :
Explications étape par étape
(sin x)^7 = sin(x)( sin(x)[tex]\sin^7x=\sin x\times\sin^6x=\sin x\times(\sin^2x)^3\\\sin^7x=\sin x\times(1-\cos^2x)^3\\[/tex]
Quand on développe (1-x)³, on obtient 1-3x+3x²-x³
[tex]\Rightarrow sin^7x=\sin x\times(1-3\cos^2x+3(\cos^2x)^2-(\cos^2x)^3)\\=\sin x\times(1-3\cos^2x+3\cos^4x-\cos^6x)\\\\sin^7x=\sin x-3\sin x\cos^2x+3\sin x\cos^4x-\sin x\cos^6x\\[/tex]
La dérivée de cos(x) est [tex](\cos x)'=-\sin x[/tex]
Sauf le premier, on a des termes de la forme [tex]u'(x).u^n(x)[/tex] dont une primitive est [tex]\frac{1}{n+1} u^{n+1}(x)[/tex]
[tex]\int\limits^\frac{2\pi}{3}_\frac{\pi}{3}sin^7x \, dx =\int\limits^\frac{2\pi}{3}_\frac{\pi}{3}(\sin x-3\sin x\cos^2x+3\sin x\cos^4x-\sin x\cos^6x}) \, dx \\\\\int\limits^\frac{2\pi}{3}_\frac{\pi}{3}sin^7x \, dx =\big[-\cos x \big]^\frac{2\pi}{3}_\frac{\pi}{3}+3\big[\frac{\cos^3x}{3}\big]^\frac{2\pi}{3}_\frac{\pi}{3}-3\big[\frac{\cos^5x}{5}\big]^\frac{2\pi}{3}_\frac{\pi}{3}+\big[\frac{\cos^7x}{7}\big]^\frac{2\pi}{3}_\frac{\pi}{3}[/tex]
[tex]\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} \quad;\quad\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2} \\[/tex]
[tex]{3}-3\big[\frac{\cos^5x}{5}\big]^\frac{2\pi}{3}_\frac{\pi}{3}+\big[\frac{\cos^7x}{7}\big]^\frac{2\pi}{3}_\frac{\pi}{3}\\\int\limits^\frac{2\pi}{3}_\frac{\pi}{3}sin^7x \, dx =-(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}) +(-\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^3})-\frac{3}{5} (-\frac{1}{2^5}-\frac{1}{2^5})+\frac{1}{7}(-\frac{1}{2^7}-\frac{1}{2^7})\\=1-\frac{1}{2^2}+\frac{3}{5\times2^4}-\frac{1}{7\times2^6}\\[/tex]
[tex]\int\limits^\frac{2\pi}{3}_\frac{\pi}{3}sin^7x \, dx =\frac{1759}{2240}\approx0,785\\[/tex]
