Les fonctions du second degré (f(x) = ax² + bx + c ; a ≠ 0) sont représentées par des paraboles.
1)
a) f(x) = x² -2x -1
lorsque le coefficient de x est positif la parabole est tournée vers le haut, la fonction a un minimum. Ce minimum vaut -2, obtenu pour x = 1. Sommet de la parabole (1;-2)
Il s'agit de la courbe rouge Ca. On peut vérifier que f(0) = -1
le point (0;-1) est sur Ca
b) g(x) = 3-x² ou g(x) = -x² + 3
le coefficient de x est -1, il est négatif. La parabole est tournée vers le bas. La fonction admet un maximum qui vaut 3 et est obtenu pour x = 0. Sommet (0;3)
c'est la courbe bleue Cb
2) f(x) = g(x)
x² - 2x -1 = 3 - x² = 0
2x² -2x -4 = 0
x² - x - 2 = 0
∆= (-1)² - (-8) = 9 il y a deux solutions
x₁ = (1 + 3)/2 = 2 x₂ = (1 - 3)/2 = -1
S = {-1 ; 2}
ce sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
3) f(x) ≤ g(x)
f(x) - g(x) ≤ 0
x² - x - 2 ≤ 0
le trinôme x² - x -2 a deux racines (-1 et 2),
il a le signe du coefficient de x (ici +) sauf pour les valeurs de x comprises entre les racines.
Il est donc négatif pour les valeurs de x comprises
entre -1 et 2
S = [-1 ; 2]
f courbe rouge g courbe bleue
les valeurs de x comprises entre -1 et 2 sont les abscisses des points de la courbe rouge qui sont en dessous de ceux la courbe bleue.
