Réponse :
EX94
Déterminer le sens de variation en calculons la différence Un+1 - Un
1) Un = 2 n² - n + 1
Un+1 = 2(n+1)² - (n+1) + 1
= 2(n²+ 2 n + 1) - n - 1 + 1
= 2 n² + 4 n + 2 - n
= 2 n² + 3 n + 2
Un+1 - Un = 2 n² + 3 n + 2 - (2 n² - n + 1)
= 2 n² + 3 n + 2 - 2 n² + n - 1
= 4 n + 1
pour tout entier naturel n ; n ≥ 0 ⇒ 4 n + 1 > 0
donc Un+1 - Un > 0 ⇒ la suite (Un) est strictement croissante sur N
2) Un = (n - 1/2)²
Un+1 = ((n+1) - 1/2)²
= (n + 1/2)²
Un+1 - Un = (n+ 1/2)² - (n - 1/2)²
= (n + 1/2 - (n - 1/2))(n + 1/2 + n - 1/2)
= (n + 1/2 - n + 1/2)(2 n)
= 2 n
pour tout entier naturel n ≥ 0 ⇒ 2 n ≥ 0
donc Un+1 - Un = 2 n ≥ 0 ⇒ (Un) est strictement croissante sur N
3) U0 = 1
Un+1 = Un + 2 n + 3
Un+1 - Un = 2 n + 3
Raisonnement par récurrence
initialisation pour n ≥ 0 P(0) est vraie P(0) = 2 (0) + 3 = 3 > 0
Hérédité : soit un entier n ≥ 0, supposons P(n) vraie et montrons que P(n+1) est vraie
P(n+1) = 2(n+1) + 3 = 2 n + 2 + 3 = 2 n + 5 > 0
Conclusion : comme P(0) est vraie et P(n) est héréditaire pour tout entier n ≥ 0 donc par récurrence P(n) est vraie pour tout n ≥ 0
Donc pour tout n ∈ N Un+1 - Un > 0 ⇒ (Un) est donc croissante
Explications étape par étape
