Réponse :Explications étape par étape
PartieA g(x)=2e^x+2x-5
1)limites : si x tend vers-oo, 2e^x tend vers 0, 2x tend vers -oo donc g(x) tend vers-oo
si x tend vers+oo, 2e^x tend vers +oo et 2x tend vers +oo donc g(x) tend vers +oo
2)dérivée g'(x)=2e^x +2=2(e^x+1) comme e^x est toujours >0, g'(x) est toujours >0 donc g(x) est croissante sur R
x -oo alpha +oo
g'(x)...............+......................................+......................
g(x)-oo..........................croissante................................+oo
3) Sachant que g(x) est continue et monotone sur et que g(-oo)=-oo et que g(+oo)=+oo d'après le TVI g'(x)=0 admet une et une seule solution alpha
si on calcule g(0,627)=-0,002 (environ) g(0,628)=+0,003 (environ)
donc 0,627<alpha<0,628
4) signe de g(x)
g(x)<0 sur ]-oo; alpha[ et g(x)>0 sur ]alpha; +oo[
Partie B
f(x)=(2x-3)(1-e^-x) cette fonction est définie sur R
1) limites
x tend vers -oo (2x-3) tend vers -oo et (1-e^-x) tend vers-oo donc f(x) tend vers +oo
si x tend vers +oo (2x-3) tend vers +oo et (1-e^-x) tend vers 1 donc f(x) tend vers +oo
2) Dérivée f'(x)=2(1-e^-x)+(e^-x)(2x-3)=(e^-x)(2x-3-2)+2=(e^-x)(2x-5)+2
g(x)/e^x=g(x)*(e^-x)=(2e^x+2x-5)(e^-x)=(e^-x)(2x-5)+2
conclusion f'(x)=g(x)/e^x ; e^x étant toujours >0 f'(x) est du signe de g(x) c'est à dire >0 sur ]-oo;alpha[ et >0 ]alpha;+oo[ avec f'(alpha)=0
tableau
x -oo alpha +oo
f'(x)..................-.......................0..............+...................
f(x)+oo........décr..................f(alpha)......croi...............+oo
je regarde pour la suite .
