Réponse : Bonjour,
1)a) On calcule la dérivée [tex]g'[/tex]:
[tex]g'(x)=f'(x)-m[/tex].
Puis pour tout [tex]x \in I[/tex], [tex]m<f'(x)[/tex], donc [tex]g'(x) >0[/tex], pour tout [tex]x \in I[/tex].
[tex]g[/tex] est donc croissante sur [tex]I[/tex].
b) Comme [tex]g[/tex] est croissante sur [tex]I[/tex], donc pour [tex]a<b[/tex] appartenant à [tex]I, g(a)<g(b)[/tex],
et donc:
[tex]g(a)<g(b)\\f(a)-ma < f(b)-mb\\-ma+mb < f(b)-f(a)\\m(b-a) < f(b)-f(a)[/tex].
2)a) On calcule la dérivée [tex]h'[/tex]:
[tex]h'(x)=M-f'(x)[/tex].
Comme [tex]f'(x) < M[/tex], pour tout [tex]x \in I[/tex], alors [tex]h'(x)=M-f'(x)>0[/tex], pour tout [tex]x \in I[/tex], donc [tex]h[/tex] est croissante sur [tex]I[/tex].
b) Donc pour [tex]a,b \in I[/tex], tel que [tex]a<b, h(a)<h(b)[/tex], d'où:
[tex]h(a)<h(b)\\Ma-f(a) < Mb-f(b)\\f(b)-f(a) < Mb-Ma\\f(b)-f(a) < M(b-a)[/tex].
3) Soient [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] de [tex]I[/tex] tel que [tex]a<b[/tex], d'après les questions précédentes:
[tex]m(b-a) < f(b)-f(a) < M(b-a)[/tex].
Comme [tex]a < b[/tex], alors [tex]b-a >0[/tex], donc:
[tex]m(b-a) < f(b)-f(a) < M(b-a)\\\frac{m(b-a)}{b-a} < \frac{f(b)-f(a)}{b-a} < \frac{M(b-a)}{b-a} \\m < \frac{f(b)-f(a)}{b-a} < M[/tex].
