Réponse : Exercice 1
Dans ce que vous avez fait, il y a des erreurs regardez comment je fais.
[tex]f(1+h)=(1+h)^{3}-5=1^{3}+3 \times 1^{2} \times h+3h^{2} \times 1+h^{3}-5\\f(1+h)=1+3h+3h^{2}+h^{3}-5=h^{3}+3h^{2}+3h-4\\f(1)=-4\\\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\frac{h^{3}+3h^{2}+3h-4+4}{h} =\frac{h^{3}+3h^{2}+3h}{h} =\frac{h(h^{2}+3h+3)}{h} =h^{2}+3h+3[/tex]
Quand [tex]h \mapsto 0,\: h^{2}+3h+3 \mapsto 3[/tex], donc [tex]f'(1)=3[/tex].
Exercice 2
Vous avez utilisé le taux d'accroissement pour calculer [tex]f'(2)[/tex], mais ici il faut calculer [tex]f'(x)[/tex] directement.
[tex]f'(x)=2 \times 3x^{2}-2x+5=6x^{2}-2x+5\\f'(2)=6 \times 2^{2}-2 \times 2+5=24-4+5=25\\f(2)=23[/tex].
Donc l'équation de la tangente à [tex]f[/tex] au point d'abscisse 2 est:
[tex]y=f'(2)(x-2)+f(2)\\y=25(x-2)+23\\y=25x-50+23\\y=25x-27[/tex].
Exercice 3
a) [tex]f(x)=\frac{3x^{2}-4}{12} =\frac{1}{12} (3x^{2}-4)\\f'(x)=\frac{1}{12} (3 \times 2x)=\frac{1}{12} 6x=\frac{x}{2} =\frac{1}{2} x[/tex].
b) [tex]f(x)=\frac{2}{7-5x} =2 \times \frac{1}{7-5x}[/tex]
[tex]\frac{1}{7-5x}[/tex] est de la forme [tex]\frac{1}{v}[/tex] avec [tex]v[/tex] fonction et [tex](\frac{1}{v} )'=-\frac{v'}{v^{2}}[/tex], donc:
[tex]f'(x)=2 \times (\frac{1}{7-5x} )'=2 \times (-\frac{-5}{(7-5x)^{2}} )=\frac{10}{(7-5x)^{2}}[/tex].
c)[tex]f[/tex] est de la forme [tex]\frac{u}{v}[/tex] avec [tex]u, v[/tex] deux fonctions et [tex](\frac{u}{v})'=\frac{u'v-v'u}{v^{2}}[/tex], donc:
[tex]f'(x)=\frac{-3 \times 2x(x-2)-1(6-3x^{2})}{(x-2)^{2}} =\frac{-6x(x-2)-6+3x^{2}}{(x-2)^{2}} =\frac{-6x^{2}+12x-6+3x^{2}}{(x-2)^{2}} \\f'(x)=\frac{-3x^{2}+12x-6}{(x-2)^{2}}[/tex].
d) [tex]f[/tex] est de la forme [tex]uv[/tex] avec [tex]u,v[/tex] deux fonctions et [tex](uv)'=u'v+v'u[/tex], donc:
[tex]f'(x)=-3(x^{2}+2)+2x(-3x+1)=-3x^{2}-6-6x^{2}+2x=-9x^{2}+2x-6[/tex].
