Bonjour,
Partie A
1) a)
g(x) = 1 + e⁻ˣ
Primitive de g : G(x) = x - e⁻ˣ
⇒ A₁ = G(a) - G(0)
= a - e⁻ᵃ + 1
b) A₂ = G(1) - G(a)
= 1 - e⁻¹ - a + e⁻ᵃ
2) f(x) = 2x - 2e⁻ˣ + e⁻¹
a) f'(x) = 2 + 2e⁻ˣ
⇒ f'(x) > 0 ⇒ f croissante sur [0;1] (1)
f(0) = -2 + e⁻¹ ≈ -1,63 donc < 0 (2)
et f(1) = 2 - e⁻¹ ≈ 1,63 donc > 0 (3)
(1), (2) et (3) ⇒ il existe un unique α ∈ [0;1] / f(α) = 0
On trouve α ≈ 0,45 à 10⁻² près
3) A₁ = A₂
⇒ a - e⁻ᵃ + 1 = 1 - e⁻¹ - a + e⁻ᵃ
⇔ 2a - 2e⁻ᵃ + e⁻¹ = 0
⇔ f(a) = 0
⇒ a = α ≈ 0,45
Partie B
1) graphiquement, on constate que g est décroissante sur [0;1].
Donc il faut : b < g(1), soit b < 1 + 1/e
2) (Aire délimitée par la courbe C, l'axe Ox et les droites d'équation x = 0 et x = 1)
= G(1) - G(0)
= 1 - e⁻¹ + 1
= 2 - e⁻¹
(Aire délimitée par l'axe Ox, la droite d'équation y = b et les droites d'équations x = 0 et x = 1)
= 1 x b = b
On veut donc : 2 - e⁻¹ - b = b
soit : b = 1 - 1/2e (≈ 0,816)
