RĂ©ponse : Bonsoir,
1) [tex]f'(x)=2 \times 2x\ln x+\frac{1}{x}\times 2x^{2}=4x\ln x+2x=2x(2\ln x+1)[/tex].
2) [tex]y=f'(a)(x-a)+f(a)\\y=2a(2\ln a+1)(x-a)+2a^{2}\ln a\\y=2a(2 \ln a+1)x-2a^{2}(2 \ln a+1)+2a^{2} \ln a\\y=2a(2 \ln a+1)x-4a^{2} \ln a-2a^{2}+2a^{2}\ln a\\y=2a(2 \ln a+1)x-2a^{2}\ln a-2a^{2}\\y=2a(2 \ln a+1)x-2a^{2}(\ln a+1)[/tex].
3) La tangente au point d'abscisse [tex]a[/tex] passe par l'origine du repère si son ordonnée à l'origine est égale à 0, donc:
[tex]-2a^{2}(\ln a+1)=0\\ \Leftrightarrow -2a^{2}=0 \quad ou \quad \ln a+1=0\\\Leftrightarrow a=0 \quad ou \quad \ln a=-1\\\Leftrightarrow a=0 \quad ou \quad a=\frac{1}{e}[/tex].
[tex]\frac{1}{e} \approx 0,37[/tex], donc c'est la seule solution comprise dans l'intervalle [tex][0,2;10][/tex].
Donc il existe une seule tangente à [tex]f[/tex] dans l'intervalle [tex][0,2;10][/tex] passant par l'origine du repère, celle au point d'abscisse [tex]x=\frac{1}{e}[/tex]
