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résolu

Bonjour j'ai du mal à faire cette exercice j'ai fait la question 1 mais je ne suis pas sur de mes réponses,

1) On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I de R(réel je ne trouve pas le symbole) et u la fonction définie sur I par u(x)=f(x)*f(x), notée f(x)². Exprimer u'(x) en fonction de f(x) et de f'(x).

2) Dans cette question, f(x) = [tex]\sqrt{3x+4}[/tex] et I= ][tex]\frac{-4}{3}[/tex];+∝[

a) étudier le sens de variation de la fonction f sur I (on s'aidera du programme de calcul et des variations des fonctions de référence).

b)Exprimer u(x) en fonction de x et en déduire le calcul de u'(x)

c)En utilisant les résultats des questions 1 et 2b; déterminer f'(x) (on trouvera [tex]\frac{3}{2\sqrt{3x+4} }[/tex])

[[[[[[[

d) Tracer C la courbe représentative de la fonction f.

e) Tracer la tangente à C au point dabcisse 0. Indiquer les calculs nécessaires

]]]]]]]

Répondre :

Réponse : Bonjour,

1) [tex]u'(x)=f'(x)f(x)+f'(x)f(x)=2f'(x)f(x)[/tex].

2)a) [tex]-\frac{4}{3} < a < b \\3 \times -\frac{4}{3} < 3a < 3b\\-4 < 3a < 3b\\-4+4 < 3a < 3b\\0 < 3a+4 < 3b+4\\\sqrt{0} < \sqrt{3a+4} < \sqrt{3b+4} \quad car \: \sqrt{x} \: est \: croissante \: sur \: [0;+\infty[ \\ 0 < f(a) < f(b)[/tex].

[tex]f[/tex] est donc croissante sur [tex]]-\frac{4}{3};+\infty[[/tex].

b) [tex]u(x)=f(x) \times f(x)=\sqrt{3x+4} \times \sqrt{3x+4}=3x+4[/tex], donc [tex]u'(x)=3[/tex].

c) D'après 1):

[tex]u'(x)=2f'(x)f(x)[/tex]

Et d'après 2)b), [tex]u'(x)=3[/tex], donc :

[tex]u'(x)=2f'(x)f(x)\\3=2f'(x)f(x)\\2f'(x)=\frac{3}{f(x)}\\f'(x)=\frac{1}{2}\frac{3}{f(x)}\\ f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+4}[/tex]

e) La tangente à C au point d'abscisse 0 a pour équation:

[tex]y=f'(0)(x-0)+f(0)\\y=\frac{3}{4}x+2[/tex].

CROISIERFAMILYVIZ

Réponse :

Explications étape par étape

■ bonjour !

■ 1°) u ' (x) = 2 * f(x) * f ' (x) .

■ 2a) f(x) = √(3x+4) donne

    f ' (x) = 0,5 * 3 / √(3x+4) = 1,5 / √(3x+4)

       toujours positive donc la fonction f

   est toujours croissante pour x > -4/3 .

■ 2b) u(x) = 3x+4 donne u ' (x) = 3 .

■ 2c) on doit donc utiliser :

             3 = 2 * √(3x+4) * f ' (x)

           1,5 = √(3x+4) * f ' (x)

        f ' (x) = 1,5 / √(3x+4) .

  on est content de retrouver la réponse 2a) ☺

■ 2d) tableau de variation et de valeurs :

               x --> -4/3      -1      0      4       7        15      +∞

   variation ->    ║        +    0,75         croissante

            f(x) -->    0        1       2     4        5        7      +∞

   prévoir un repère de 17 cm en largeur et 14 cm en hauteur !

     Ne pas utiliser de règle pour tracer la Courbe !!

■ 2e) équation de la tangente en T de coordonnées (0 ; 2) :

         y = 0,75x + 2 .

         pourquoi 0,75 ? car f ' (0) = 1,5 / √4 = 1,5 / 2 = 0,75 .

         pourquoi + 2 ?

               car f(0) = 0,75*0 + constante = 2 d' où cte = +2 .

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