Réponse :
le maraîcher doit récolter 1341 kg de pommes
pour amortir son Coût de production !
Explications étape par étape :
■ Coût de produc = f(x) = x - 3 + exp(2,5-x)
dérivons : f ' (x) = 1 - exp(2,5-x)
cette dérivée est positive pour 1 > exp(2,5-x)
0 > 2,5 - x
x > 2,5 tonnes de pommes !
■ 1°) le maraîcher doit produire 2,5 tonnes de pommes
( pour minimiser son Coût de production ! ) .
■ 2a) R(x) = 1,14x puisque 1140 €uros = 1,14 k€ .
■ 2b) B(x) = 1,14x - x + 3 - exp(2,5-x) = 0,14x + 3 - exp(2,5-x) .
B ' (x) = 0,14 + exp(2,5-x)
cette dérivée est toujours positive !
le Bénéfice est donc toujours croissant !
■ 3°) tableau de variation et de valeurs :
x --> 0 1 1,3407 2 2,5 5 10 +∞
f(x) --> 9,2 2,5 1,53 0,65 0,5 2,1 7 +∞
R(x) -> 0 1,14 1,53 2,3 2,85 5,7 11 +∞
B(x) -> -9,2 -1,34 0 1,63 2,35 3,6 4 +∞
■ 4a) la fonction B est croissante ; B(1) est négatif ; B(2) est positif
--> donc il existe bien une valeur unique de x
telle que 1 < x < 2 pour laquelle le Bénéfice est nul !
■ 4b) 1,340 < x < 1,341 tonne de pommes !
j' ai trouvé x = 1,3407 en cherchant l' intersection
de la droite d' équation y = 0,14x + 3
et de la courbe d' équation y = exp(2,5-x) .
■ 4c) le maraîcher doit récolter 1341 kg de pommes
pour amortir son Coût de production !
