Réponse : Bonsoir,
2) D'après 1), [tex]G[/tex] est une primitive de [tex]g[/tex], et toutes les primitives de [tex]g[/tex], sont les fonctions [tex]x \mapsto (\ln x)^{2}+C[/tex] avec [tex]C[/tex] constante.
La primitive de [tex]g[/tex] qui s'annule pour [tex]x=e[/tex] est:
[tex]0=(\ln e)^{2}+C\\0=1^{2}+C\\C=-1[/tex].
Donc la primitive de [tex]g[/tex] qui s'annule pour [tex]x=e[/tex] est [tex]x \mapsto (\ln x)^{2}-1[/tex].
3) Une primitive de [tex]x \mapsto \frac{\ln x}{x}[/tex] est [tex]x \mapsto \frac{(\ln x)^{2}}{2}[/tex].
D'où:
[tex]\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} dx=[\frac{(\ln x)^{2}}{2}]_{1}^{e}=\frac{(\ln e)^{2}}{2}-\frac{(\ln 1)^{2}}{2}=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}[/tex].
