Réponse : Bonjour,
1)a) La distance parcourue après la 2ème étape de sa course est [tex]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}[/tex].
Après la 2ème étape, il reste [tex]\frac{1}{4}[/tex] à parcourir, donc à la 3ème étape, Achille parcourt [tex]\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{8}[/tex].
Donc la distance parcourue par Achille après la 3ème étape est:
[tex]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{4+2+1}{8}=\frac{7}{8}[/tex].
Après la 3ème étape, il reste [tex]\frac{1}{8}[/tex] à parcourir, donc à la 4ème étape, Achille parcourt [tex]\frac{1}{2} \times \frac{1}{8}=\frac{1}{16}[/tex].
Donc la distance parcourue par Achille à l'issue de la 4ème étape est:
[tex]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{8+4+2+1}{16}=\frac{15}{16}[/tex].
b) Au vu de la question précédente, la distance [tex]d_{n}[/tex] parcourue par Achille après la n ième étape est: [tex]d_{n}=\sum_{i=1}^{n} (\frac{1}{2})^{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2^{n}}[/tex].
2)a) [tex]d_{n}[/tex] est la somme d'une suite géométrique de premier terme [tex]\frac{1}{2}[/tex] et de raison [tex]\frac{1}{2}[/tex], donc:
[tex]d_{n}=\frac{1}{2} \times \frac{1-(\frac{1}{2})^{n}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 2(1-(\frac{1}{2})^{n})=1-(\frac{1}{2})^{n}=1-\frac{1}{2^{n}}[/tex].
3)a) On a pour tout entier naturel [tex]n[/tex]:
[tex](\frac{1}{2})^{n} \geq 0\\-(\frac{1}{2})^{n} \leq 0\\1-(\frac{1}{2})^{n} \leq 1\\1-\frac{1}{2^{n}} \leq 1\\d_{n} \leq 1[/tex]
b) [tex]d_{n} \leq 1[/tex], pour tout entier naturel [tex]n[/tex], donc la somme infinie de longueurs n'est pas une longueur infinie, comme cela a été dit au début du document. C'est le paradoxe démontré par Zénon d'Elée.