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Réponse : Bonjour,
1) Je vous laisse placer les points.
2)a) Si [tex]M \in d_{1}[/tex], alors par définition de la médiatrice de [tex][AB], MA=MB[/tex], donc [tex]MA^{2}=MB^{2}[/tex]. Dans l'autre sens, si [tex]MA^{2}=MB^{2}[/tex] alors [tex]MA=MB[/tex], car [tex]MA[/tex] et [tex]MB[/tex] sont des longueurs, donc positives, et pour tous [tex]x, y \in [0;+\infty[, x^{2}=y^{2} \Leftrightarrow x=y[/tex].
b) Donc si [tex]M \in d_{1}[/tex], alors [tex]MA^{2}=MB^{2}[/tex], donc en notant [tex]M(x;y)[/tex] alors:
[tex]MA^{2}=MB^{2}\\(2-x)^{2}+(-1-y)^{2}=(5-x)^{2}+(0-y)^{2}\\4-4x+x^{2}+1-2 \times (-1) \times y+y^{2}=25-2 \times 5 \times x+x^{2}+y^{2}\\4-4x+x^{2}+1+2y+y^{2}=25-10x+x^{2}+y^{2}\\2y=25-5+4x-10x\\2y=20-6x\\y=10-3x[/tex].
Donc une équation de [tex]d_{1}[/tex] est [tex]y=-3x+10[/tex].
3) La hauteur [tex]d_{2}[/tex] issue de [tex]C[/tex] du triangle [tex]ABC[/tex] est par définition perpendiculaire au segment [tex][AB][/tex]. De plus, la médiatrice [tex]d_{1}[/tex] est aussi perpendiculaire au segment [tex][AB][/tex]. Or "Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles". Donc les droites [tex]d_{1}[/tex] et [tex]d_{2}[/tex] sont parallèles.
On en déduit que [tex]d_{1}[/tex] et [tex]d_{2}[/tex] ont même coefficient directeur [tex]-3[/tex].
Donc [tex]d_{2}[/tex] a pour coefficient directeur [tex]-3[/tex], et puisque cette hauteur est issue de [tex]C[/tex], alors [tex]C \in d_{2}[/tex], on est donc en mesure de calculer l'ordonnée à l'origine [tex]b[/tex] de [tex]d_{2}[/tex]:
[tex]C \in d_{2} \Leftrightarrow 6=-3 \times 1+b \Leftrightarrow b=6+3=9[/tex].
Donc une équation de [tex]d_{2}[/tex] est [tex]y=-3x+9[/tex].
4) Le pied de la hauteur [tex]H[/tex] de [tex]d_{2}[/tex] appartient au segment [tex][AB][/tex] et [tex]d_{2}[/tex].
Il nous faut donc calculer une équation de la droite [tex](AB)[/tex].
Le coefficient directeur [tex]a[/tex] de [tex](AB)[/tex] est:
[tex]a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{0-(-1)}{5-2}=\frac{1}{3}[/tex].
L'ordonnée à l'origine [tex]b[/tex] de [tex](AB)[/tex] est:
[tex]A \in (AB) \Leftrightarrow -1=\frac{1}{3} \times 2+b \Leftrightarrow b=-1-\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}[/tex].
Donc une équation de [tex](AB)[/tex] est [tex]y=\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}[/tex].
[tex]H[/tex] étant le point d'intersection de [tex](AB)[/tex] et [tex]d_{2}[/tex], donc son abscisse [tex]x[/tex] vérifie:
[tex]-3x+9=\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}\\-3x-\frac{1}{3}x=-\frac{5}{3}-9\\\frac{-9x-x}{3}=\frac{-5-27}{3}\\\frac{-10x}{3}=-\frac{32}{3}\\-10x \times 3=-32 \times 3\\-30x=-96\\x=\frac{16}{5}[/tex].
Donc l'ordonnée [tex]y[/tex] du point [tex]H[/tex] est:
[tex]H \in d_{2} \Leftrightarrow y=-3 \times \frac{16}{5}+9=\frac{-48+45}{5}=-\frac{3}{5}[/tex].
Donc [tex]H(\frac{16}{5};-\frac{3}{5})[/tex]
5) Calculons enfin l'aire du triangle [tex]ABC[/tex], notée [tex]A_{ABC}[/tex]:
[tex]A_{ABC}=\frac{CH \times AB}{2}\\CH=\sqrt{(\frac{16}{5}-1)^{2}+(-\frac{3}{5}-6)^{2}}=\sqrt{(\frac{11}{5})^{2}+(-\frac{33}{5})^{2}}=\sqrt{\frac{121+1089}{25}}=\sqrt{\frac{1210}{25}}=\frac{\sqrt{1210}}{5}\\AB=\sqrt{(5-2)^{2}+(0+1)^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}\\A_{ABC}=\frac{\frac{\sqrt{1210}}{5}\times \sqrt{10}}{2}=\frac{\frac{\sqrt{12100}}{5}}{2}=\frac{\sqrt{12100}}{5} \times \frac{1}{2}=\frac{110}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{55}{5}=11 \: cm^{2}[/tex].
L'aire du triangle ABC est donc [tex]11 \: cm^{2}[/tex].
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