Réponse :
Explications étape par étape
exo 1 :
■ A1°) Za = √3 * ( -√3 / 2 + 0,5i )
= √3 exp(i 5π/6) ;
Zb = √3 exp(-i 5π/6) ;
Zc = 3 exp(-i π) .
■ A3°) ABC équilatéral ?
Zb - Za = -i √3 ;
Zc - Za = -3 + 1,5 - i√3 / 2
= -1,5 - i√3 / 2 ;
Zc - Zb = -3 + 1,5 + i√3 / 2
= -1,5 + i√3 / 2 .
| Zb - Za | = | Zc - Za | = | Zc - Zb | = √3 .
ABC est bien un triangle équilatéral !
■ B 1a) : Z ' = (i/3) * Z² .
Za' = i * ( -√3 / 2 + 0,5i )²
= i * (0,75-0,25 - 0,5i√3)
= i * (0,5 - 0,5i√3)
= 0,5√3 + 0,5i
= exp(i π/6) ;
Zb' = i * (-√3/2 - 0,5i)²
= i * (0,75-0,25 + 0,5i√3)
= -0,5√3 + 0,5i
= exp(-i 5π/6) ;
Zc' = i * (-3)² = 9i = 9 exp(i π/2) .
■ B 1c) : OAB' alignés ?
Za - √3 * Zb' = -1,5 + 0,5i√3 + 1,5 - 0,5i√3 = 0
donc OAB' sont bien alignés !
■ B2°) les points de la droite (AB) ont leur abscisse égale à -1,5 .
x' + iy' = (i/3) * (-1,5 + iy)² = (i/3) * (2,25-y² - 3iy)
= y + i(2,25-y²)/3 = y + i(0,75 - y²/3)
donc y = 3/4 - x²/3 ( qui est bien l' équation d' une Parabole ! )
