Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Partie A :
1)a) g(1)=3
g'(2) =0 : c'est le coeff directeur de la tgte en x=2 qui est horizontale donc son coeff directeur est nul.
b) Cg est tjrs au-dessus de l'axe des x donc g(x) > 0.
2)
g(1)=3 donne :a+b*ln(1)+1²=3 mais ln(1)=0 donc :
a+1=3 soit a=2
g '(x)=b/x+2x
g '(2)=0 donne :
b/2+4=0 qui donne b=-8
Donc g(x)=x²+2-8*ln(x)
3)a)
g '(x)=2x-8/x=(2x²-8)/x
b)
Sur ]0;+inf[ , le déno est > 0 donc g '(x) est du signe de (2x²-8).
2x²-8 est < 0 entre les racines car le coeff de x² est > 0
2x²-8 = 0 ==>x²=4
Les racines sont x1=-2 et x2=2
Donc g'(x) < 0 sur ]0;2] et > 0 sur [2;+inf[
Tu fais le tableau de variation de g(x) qui est décroissante sur ]0;2] et croissante sur [2;+inf[
c)
Donc g(x) passe par un minimum pour x=2 qui est g(2)=4+2-8ln(2)≈0.5 > 0
Donc g(x) tjrs > 0
Partie B :
1)a)
Là je ne sais pas faire . Désolé . Tu cherches sur Internet la limite de ln(x)/x quand x tend vers 0 puis vers +infini.
On doit trouver :
lim f(x)=-inf quand x tend vers zéro.
lim f(x)=+inf quand x tend vers +inf
La courbe donnée est celle de g(x) et non f(x) !!
2)
On cherche d'abord la dérivée de : 8ln(x)/x qui est de la forme u/v:
u=8ln(x) donc u '=8/x
v=x donc v'=1
(8ln(x)/x) ' =[(8/x)*x-8ln(x)]/x²=(8-8ln(x))/x²
Donc f '(x)=(8-8ln(x)]/x²-6/x²+1=(8-8ln(x)-6+x²)/x²
f '(x)=(x²+2-8ln(x))/x²
Donc : f ' (x)=g(x)/x² et non g '(x)/x² !!!
Donc erreur dans l'énoncé !!
3)
a) On a vu que g(x) est tjrs > 0 sur [0;+inf[ donc f ' (x) > 0 sur cet intervalle car numé et déno sont > 0.
b) f(x) est toujours croissante.
c) f(1)=0+6+1=7
f '(1)=(2-0+1)/1=3
Equation tangente en x=1 :
y=3(x-1)+7
y=3x+4
Voir graph joint avec Cf et la tgte en x=1.
