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résolu

Bonjour, je suis en première S, j’ai un DM de maths à rendre pour la rentrée. Si vous avez le même exercice, exo 90 pages 126, tangentes parallèles à l’axe des abscisses :
Soit la fonction f définie sur [-3;+l’infinie[ par :
f(x)=x^2+4x-4/(x^2-2x+2)
On note C la courbe représentative de f.
1) Vérifier que f est bien définie sur [-3;+l’infinie[.
2) Montrer que pour tout réel x supérieur ou égale à -3,
f(x)-1=6(x-1)/(x^2-2x+2)
Préciser la position de C par rapport à la droite D d’equation Y=1
3) Montrer que pour tout réel x supérieur ou égale à 3:
f’(x)=-6x^2+12x/(x^2-2x+2)^2.
En déduire les variations de f sur [-3;+l’infinie[.

Répondre :

[tex]Bonjour;\\\\\\2)\\\\\\f(x)=\dfrac{x^2+4x-4}{x^2-2x+2}=\dfrac{x^2-2x+2+6x-6}{x^2-2x+2}\\\\\\=\dfrac{x^2-2x+2}{x^2-2x+2}+\dfrac{6x-6}{x^2-2x+2}=1+\dfrac{6(x-1)}{x^2-2x+2}\ ;\\\\\\donc\ :\ f(x)-1=\dfrac{6(x-1)}{x^2-2x+2}\ .[/tex]

[tex]3)\\\\\\(f(x)-1)'=(\dfrac{6(x-1)}{x^2-2x+2})'\\\\\\\Rightarrow (f(x))'-(1)'=6(\dfrac{x-1}{x^2-2x+2})'\\\\\\f'(x)=6\dfrac{(x-1)'(x^2-2x+2)-(x-1)(x^2-2x+2)'}{(x^2-2x+2)^2}\\\\\\=6\dfrac{1\times(x^2-2x+2)-(x-1)(2x-2)}{(x^2-2x+2)^2}\\\\\\=6\dfrac{x^2-2x+2-(2x^2-2x-2x+2)}{(x^2-2x+2)^2}\\\\\\=6\dfrac{-x^2+2x}{(x^2-2x+2)^2}=\dfrac{-6x^2+12x}{(x^2-2x+2)^2}\ .[/tex]

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