Réponse : Bonjour,
2) [tex]A_{n}[/tex] est le point de la courbe [tex]\mathcal{C}_{n}[/tex] ayant pour ordonnée ce maximum, donc l'abscisse de [tex]A_{n}[/tex] est solution de l'équation [tex]f'_{n}(x)=0[/tex].
Et donc:
[tex]f'_{n}(x)=0 \Leftrightarrow \frac{1-n\ln(x)}{x^{n+1}} \Leftrightarrow 1-n\ln(x)=0 \Leftrightarrow n\ln(x)=1 \Leftrightarrow \ln(x)=\frac{1}{n} \Leftrightarrow e^{\ln(x)}=e^{\frac{1}{n}} \Leftrightarrow x=e^{\frac{1}{n}}[/tex].
De plus, puisque [tex]A_{n} \in \mathcal{C}_{n}[/tex], alors [tex]A_{n}(e^{\frac{1}{n}};f_{n}(e^{\frac{1}{n}}))[/tex].
Donc:
[tex]f_{n}(e^{\frac{1}{n}})=\frac{\ln(e^{\frac{1}{n}})}{(e^{\frac{1}{n}})^{n}}=\frac{\frac{1}{n}}{e^{1}}=\frac{1}{n} \times \frac{1}{e}=\frac{1}{ne}[/tex].
Donc [tex]A_{n}(e^{\frac{1}{n}};\frac{1}{ne})[/tex].
Vérifions maintenant que tous les points [tex]A_{n}[/tex] appartiennent à la droite d'équation [tex]y=\frac{1}{e}\ln(x)[/tex].
On a:
[tex]\frac{1}{e}\ln(e^{\frac{1}{n}})=\frac{1}{e} \times \frac{1}{n}=\frac{1}{ne}=y_{A_{n}}[/tex].
Et donc:
[tex]y_{A_{n}}=\frac{1}{e}\ln(x_{A_{n}})[/tex].
Les points [tex]A_{n}[/tex] appartiennent donc à une même courbe [tex]\Gamma[/tex] d'équation [tex]y=\frac{1}{e}\ln(x)[/tex].
