Réponse :
f(x) = - x² + 7 x - 6
1) déterminer les racines de f sur [0 ; 10]
Δ = 49 - 24 = 25 ⇒ √25 = 5
x1 = - 7 + 5)/-2 = -2/-2 = 1
x2 = - 7 - 5)/- 2 = 6
2) en déduire l'expression factorisée de f si cela est possible
f (x) peut s'écrire sous la forme factorisée : f(x) = a(x-x1)(x-x2)
donc f(x) = -(x-1)(x-6) ⇔ f(x) = (1 -x)(x-6)
3) dresser le tableau de signe de f(x)
x 0 1 6 10
1-x + 0 - -
x-6 - - 0 +
f(x) - 0 + 0 -
4) résoudre l'inéquation f(x) > 0 sur [0 ; 10]
A partir du tableau de signe de f ci-dessus on déduit l'ensemble des solutions S = ]1 ; 6[ ⇔ 1 < x < 6
5) dresser le tableau de variation de f sur [0 ; 10]
Tout d'abord déterminons la forme canonique de f
f (x) = a(x - α)² + β
α = - b/2a = -7/-2 = 3.5
β = f(3.5) = -(3.5)² + 7(3.5) - 6 = - 12.25 + 24.5 - 6 = 6.25
f(x) = -(x - 3.5)² + 6.25
x 0 1 3.5 6 10
f(x) - 6 →→→→→→→→→→→→→→→6.25 →→→→→→→→→→→→→→→→→→ - 36
croissante décroissante
6) déterminer la plage de production permettant de faire le bénéfice
1000 < x < 6000
Le bénéfice maximum = 6250 € atteint pour une production de 3500 unités
Explications étape par étape