Réponse : Bonjour,
Exercice 5
1) [tex]f'(x)=e^{x}+-\frac{e^{x}}{(e^{x})^{2}}=e^{x}-\frac{1}{e^{x}}=\frac{e^{x}e^{x}-1}{e^{x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{x}}[/tex].
2) Le dénominateur de [tex]f'(x)[/tex], [tex]e^{x} >0[/tex], pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].
Donc [tex]f'(x)[/tex] est du signe de [tex]e^{2x}-1[/tex], pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].
On a:
[tex]e^{2x}-1 >0\\e^{2x}>1\\\ln(e^{2x}) > \ln(1)\\2x >0\\x>0[/tex].
On a donc le tableau suivant:
x -∞ 0 +∞
f'(x) - Ф +
f(x) (décroissant) f(0) (croissant)
3) D'après le tableau de variations, on voit que [tex]f[/tex] admet un minimum en [tex]x=0[/tex]. Donc pour tout [tex]x \in \mathbb{R}, f(x) \geq f(0)[/tex].
Et:
[tex]f(0)=e^{0}+\frac{1}{e^{0}}=1+1=2[/tex].
On en déduit que [tex]f(x)=e^{x}+\frac{1}{e^{x}}=e^{x}+e^{-x} \geq 2[/tex], pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].
