Réponse : Bonjour,
1)a) L'affixe [tex]z_{B'}[/tex] du point [tex]B[/tex] d'affixe [tex]i[/tex] est:
[tex]z_{B'}=\frac{i-1-i}{i}=-\frac{1}{i}=-\frac{i}{i^{2}}=-\frac{i}{-1}=i[/tex].
b) Par l'absurde, supposons que [tex]z'=1[/tex], alors:
[tex]\frac{z-1-i}{z}=1\\z-1-i=z\\0=-1-i \quad Contradiction[/tex].
Donc par l'absurde, [tex]z'\ne 1[/tex].
2) On note A le point d'affixe [tex]z_{A}=1+i[/tex].
On a:
[tex]|z'|=1\\\left|\frac{z-1-i}{z}\right|=1\\ \frac{|z-1-i|}{|z|}=1\\\frac{|z-(1+i)|}{|z|}=1\\\frac{AM}{OM}=1\\AM=OM[/tex].
Donc l'ensemble des points [tex]M[/tex] d'affixe [tex]z[/tex] non nul, tel que [tex]|z'|=1[/tex], est la médiatrice du segment [OA].
3) On a en notant [tex]z=x+iy[/tex]:
[tex]\frac{z-1-i}{z}=\frac{x+iy-1-i}{x+iy}=\frac{x-1+i(y-1)}{x+iy}=\frac{(x-1+i(y-1))(x-iy)}{(x+iy)(x-iy)}=\frac{x^{2}-xiy-x+iy+xi(y-1)-i^{2}y(y-1)}{x^{2}-(iy)^{2}}=\frac{x^{2}-xiy-x+iy+xiy-xi+y^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}-x+iy-xi-y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}-x-y+i(y-x)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}-x-y}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y-x}{x^{2}+y^{2}}i[/tex].
Donc l'affixe [tex]z'[/tex] de M' est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, donc que:
[tex]\frac{y-x}{x^{2}+y^{2}}=0\\y-x=0\\y=x[/tex].
Donc l'ensemble des points M d'affixe [tex]z \ne 0[/tex], tel que M' est un nombre réel est la droite d'équation [tex]y=x[/tex].