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Réponse :
salut
1)
Volume = L*l*h (L=largeur , l=longueur , h=hauteur)
ici L et l valent x de plus Volume=1 dm^3
=> x*x*h=1
=> y= 1/x²
2) surface d'un parallélépipède rectangle = 2*h*L+2*h*l+2*L*l
en remplaçant par les valeurs
S(x)= 2((1/x²)*x)+2*((1/x²)*x)+2*x*x ( en simplifiant on trouve)
S(x)= 2x²+(4/x)
3) f '(x)= 4x-(4/x²)
on réduit au même dénominateur
f '(x) = (4x^3-4)/x²
factorisation de 4x^3-4
1 est solution car 4*1^3-4=0
donc factorisable par (x-1)(ax²+bx+c)
on développe
ax^3-ax²+bx²-bx+cx-c
on range
ax^3+(-a+b)x²+(-b+c)x-c
identification des coefficients
ax^3+(-a+b)x²+(-b+c)x-c= 4x^3-4
a=4 | a=4
-a+b=0 | b=4
-b+c=0 | c=4
f '(x) =((x-1)(4x²+4x+4))/x²
= 4(x-1)(x²+x+1)/x²
4) variations
x²+x+1=0 delta<0 pas de solutions
x 0 1 +oo
f ' || - 0 +
|| +oo +oo
f(x) || \ /
6
dimensions de la boite
pour x : 2*1²+4/1= 6
pour y : 1/1² = 1
Explications étape par étape
Réponse :
1)écriture algébrique du volume de la boite est : x²*y ; x>0
puisque le volume de cette boite vaut 1 dm^3
donc y*x²=1 soit : y=1/x².
2) l'aire totale de la boite est :
S(x)= 2x² +4*xy=2x²+4*x*1/x²=2x²+4/x . c'est lasomme de l'aire de 2 carrés de longueur x et de l'aire 4 rectangles de dimension x et y .
3) pout x>0: s
S'(x) = 4x -4/x².
or : 4(x-1)(x²+x+1)/x²=4(x^3+x²+x-x²-x-1)/x²=4(x^3-1)/x²=4x-4/x².
donc : S'(x)= 4(x-1)(x²+x+1)/x².
4 .a) le signe de S'(x) est le signe du facteur (x-1) , car 4(x²+x+1)/x² >0 pour x>0 . S'(x) =0 équivaut à x=1.
si o<x<ou =1 S'(x) <ou =0 dans ce cas S est décroissante .
si x>ou=1 S'(x) >ou = 0 dans ce cas S est croissante
4.b) la fonction S admet un un minimum au point x = 1 .
donc 1 dm est la longueur minimale de la boite
et on sait que : y= 1/x²= 1 dm .
donc les dimensions de la boite d'aire minimale 1dm, 1dm et 1dm .
Explications étape par étape
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