Réponse : Bonsoir,
a) Il suffit de développer [tex](x-3)^{2}-16[/tex], je vous laisse le faire.
b) D'après la question a), [tex]x^{2}-6x-7=(x-3)^{2}-16[/tex], il faut donc étudier le signe de [tex](x-3)^{2}-16[/tex].
Pour cela, on résout par exemple l'inéquation:
[tex](x-3)^{2}-16 \geq 0\\(x-3)^{2} \geq 16[/tex].
Or la fonction carrée est supérieure ou égal à 16, sur l'intervalle [tex]]-\infty;-4]\cup[4;+\infty[[/tex].
Donc:
[tex](x-3)^{2} \geq 16\\x-3 \leq -4 \quad ou \quad x-3 \geq 4\\x \leq -1 \quad ou \quad x \geq 7[/tex].
Donc [tex](x-3)^{2}-16 \geq 0[/tex] sur l'intervalle [tex]]-\infty;-1] \cup [7;+\infty[[/tex]. Par suite [tex]T(x)=x^{2}-6x-7\geq 0[/tex] sur l'intervalle [tex]]-\infty;-1] \cup [7;+\infty[[/tex]. Par complémentarité, [tex]T(x) \leq 0[/tex] sur l'intervalle [tex][-1;7][/tex].
