Réponse :
Explications étape par étape :
■ partie A : Uo = 1 ; U1 = 1/9 ; U2 = 1/73 ;
U3 = 1/585 ; U4 = 1/4681 ; U5 = 1/37449 ;
U6 = 1/299593 ; U7 = 1/2396745 ;
U8 = 1/19173961 ; U9 = 1/153391689 ; ...
La suite (Un) est positive, décroissante,
de Limite égale à 0 .
■ A2°) le dénominateur "n+1" s' obtient
en calculant 8 x D + 1
avec D = Dénominateur du terme de rang "n" .
■ B1°) Un+1 = (Un+8-8)/(Un+8)
= 1 - 8/(Un+8)
= 1 - un nombre positif plus petit que 1
> 0
donc (Un) est bien une suite positive !
■ B2°) f(x) = x/(x+8) donne f ' (x) = (x+8 - x) / (x+8)²
= 8/(x+8)² > 0
donc la fonction f est croissante ( pour x croissant )
d' où la suite (Un) est décroissante .
■ B3°) (Un) est bien une suite positive
décroissante de Limite zéro .
■ C1°) Vo = 8 ; V1 = 64 ; V2 = 512 ; ...
(Vn) est donc une suite géométrique positive
croissante de raison q = 8 et de terme initial Vo = 8 .
■ C2°) Vn = 8 x 8 puissance(n) = 8 puiss(n+1)
donc Un = 7 / (Vn - 1)
d' où Un = 7 / ( 8puiss(n+1) - 1 ) .
■ C3°) Lim Un = Lim 7 / (8puiss(n)) = 0 .
■ C4°) on veut Un < 10 puiss(-18)
Un - 10puiss(-18) < 0
n > 19
n = 20 .
vérif : n = 20 donne n+1 = 21
donc U20 = 7/(8puiss21 - 1)
�� = 7/9,2234x10puiss18
= 7,59x10puiss(-19)
= 0,759x10puiss(-18)
< 10 puiss(-18) .
