Réponse : Bonjour,
1) [tex](u_{n})[/tex] est une suite géométrique de premier terme [tex]u_{0}=2[/tex] et de raison [tex]q=\sqrt{2}[/tex], donc:
[tex]u_{n}=u_{0} \times (\sqrt{2})^{n}=2 \times (\sqrt{2})^{n}[/tex].
Donc:
[tex]u_{n} > 1000\\2 \times (\sqrt{2})^{n} > 1000\\(\sqrt{2})^{n} > 500\\e^{n \ln(\sqrt{2})} > 500\\\ln(e^{n \ln(\sqrt{2})}) > \ln(500)\\n \ln(\sqrt{2}) > \ln(500)\\n >\frac{\ln(500)}{\ln(\sqrt{2})} \approx 17,9[/tex].
Donc le plus petit entier [tex]n[/tex], tel que [tex]u_{n} > 1000[/tex] est [tex]n=18[/tex].
2) [tex]1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n} \geq 0,999\\ \left(\frac{2}{3}\right)^{n} \leq 0,001\\ e^{n \ln(\frac{2}{3})} \leq 0,001\\ \ln(e^{n \ln(\frac{2}{3})}) \leq \ln(0,001)\\n \ln(\frac{2}{3}) \leq \ln(0,001)\\n \geq \frac{\ln(0,001)}{\ln(\frac{2}{3})} \quad car \; \ln(\frac{2}{3}) < 0\\n \geq \frac{\ln(0,001)}{\ln(\frac{2}{3})} \approx 17,04[/tex].
Donc le plus petit entier naturel [tex]n[/tex] tel que [tex]1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n} \geq 0,999[/tex] est [tex]n=18[/tex].
