Bonjour,
1) x = 3 cm
Les boites ont alors pour dimensions :
L = l = 30 - 2x3 = 24 cm
et h = 3 cm
Donc un volume de : L * l * h = 24 * 24 * 3 = 1728 cm³
2) x quelconque
L = l = (30 - 2x)
h = x
Donc : V = (30 - 2x)² * x
Soit V = (30² - 120x + 4x²)x = 4x³ - 120x² + 900x
3) f(x) = 4x³ - 120x² + 900x
f'(x) = 12x² - 240x + 900 = 12(x² - 20x + 75)
f'(x) = 0
Δ = (-20)² - 4*1*75 = 400 - 300 = 100 = 10²
Donc 2 racines :
x₁ = (20 - 10)/2 = 5
x₂ = (20 + 10)/2 = 15
On en déduit : f'(x) = 12(x - 5)(x - 15)
Puis les variations de f sur [0;15] :
x 0 5 15
x-5 - 0 +
x-15 - -
f'(x) + 0 -
f(x) croiss. décroiss.
Donc f atteint un maximum pour x = 5 et vaut alors f(5) = 2000
4) Conclusion : Le volume est maximum pour x = 5 cm et vaudra 2000 cm³
