Réponse :
Soit la fonction f définie sur R\{0} par : f(x) = (1-x)^3 /x²
On note C sa courbe représentative.
1) Trouver a,b,c,d tels que pour tout réels x non nul : f(x) = ax+b + [(cx+d) / x²]
f(x)= ( 1 - 2x+x²)( 1-x) /x² = ( 1/x² - 2/x + 1)(1-x)= 1/x² -2/x + 1 - 1/x + 2 - x
= -x + 3 + 1/x² - 3/x = -1x + 3 + ( -3x + 1) /x² a= -1 b=3 c= -3 d= 1
2) f '(x) = - 1 - 2/x^3 + 3/x² = ( -x^4 -2x +3x²) /x^4
x^4 est positif -x^4 + 3x² -2x = -x^4 +x² + 2x² -2x = x²(-x²+1) +2x(x-1)
=x²(x-1)(-x-1) +2x(x-1)= x(x-1)( x(-x-1) + 2 ) =x(x-1)(-x² - x +2)
-x² -x +2 = -x² +x - 2x +2 = -x(x-1) - 2(x-1)= (x-1)(-x-2)
-x^4 + 3x² -2x = x(x-1)(x-1)(-x-2)= x(x-1)²(-x-2)
f '(x) est donc positif si x(-x-2) est positif : -2<x<0
f est donc décroissante sur ] -∞ ; -2 [ et ] 0; +∞ [
croissante sur ]-2 ;0 [
3) Determiner une équation de la tangente F à la courbe c au point 1/2. 5cette question je l'ai saisie)
4) on peut trouver le point de C ou la tangente à C est parallèle à la droite Δ d'équation y = -x s'il existe b tel que l' équation
f(x) = - x + b a une solution double au moins
f(x) = -x + b
(1-x)^3 = x² (-x+b)
1 - 3x + 3x² - x^3 = -x^3 + bx²
(b -3)x² + 3x - 1 =0
cette equation a une solution double si delta = 0
delta = 9 -4(-1)(b-3)= 9 +4b -12 = 4b - 3 d'où b= 3/4
equation de la tangente y = -x + 3/4
cette solution double est l'abscisse de C
xC = - 3/2(b-3)= - 3 /2(3/4-3) = - 3/2( -9/4) = 3/2 * 4/9 = 2/3
yC = f( 2/3)
5) Etudier la posiyion de C par rapport à la droite D d'équation y = -x+3.
f(x) - ( -x+3) = f(x) + x -3 = 1/x² - 3/x + 3 - x +x -3 = 1/x² - 3/x
= ( 1 -3x) / x²
f(x) - (-x+3) < 0 C est au dessous de D si 1 -3x <0 si x > 1/3
f(x) - (-x+3) > 0 C est au dessus de D si 1 -3x >0 si x < 1/3
