Réponse :
Explications étape par étape
2)c) M=aI+bJ N=cI+dJ
MN=acI² +adJ + bcIJ + bdJ² = acI +(ad+bc)J car J² = 0
NM=caI² +cbJ + daIJ + dbJ² = acI +(ad+bc)J
oui l'anneau est commutatif
d) non car J² = 0
3) M est inversible s'il exist e N (inverse ) tel que MN=I
donc ac = 1 et ad+bc= 0
nécessairement a≠0 alors c= 1/a ad + b/a = 0 d = -b/a²
M inversible ssi a≠0
4)par récurrence
c'est vrai pour n= 1
supposons vrai pour n posons c=a^n d=n*a^(n-1)*b
MN = ac I +(ad+bc)J = a^(n+1) I + ( an*a^(n-1)*b +b*a^n)
= a^(n+1) I + ( n*a^(n)*b +b*a^n)
= a^(n+1) I + ( n+1)*a^(n)*b vrai pour n+1
5) la premiere coordonnée est
x=a+a²+...a^n
la deuxieme
y= b + 2ab+3a²b+.....n*a^(n-1)b
=b( 1+2a+3a²+...+n*a^(n-1))
