Bonjour,
C'est un problème difficile pour un élève de seconde !
On peut supposer dans un premier temps que [tex]f[/tex] est affine, c'est-à-dire qu'il existe des nombres réels [tex]m[/tex] et [tex]p[/tex] tels que [tex]f(x)=mx+p[/tex] pour tout nombre réel [tex]x[/tex].
On a alors [tex]5f(-x)+f(1-x)=5(-mx+p)+m(1-x)+p=-6mx+m+6p[/tex] qui devrait valoir [tex]2x[/tex], ce qui veut dire que nécessairement [tex]-6m=2[/tex] et [tex]m+6p=0[/tex], nous permettant de trouver [tex]m=-\dfrac 13[/tex] et [tex]p=\dfrac 1{18}[/tex], d'où [tex]f\colon x\mapsto\dfrac 1{18}-\dfrac x3[/tex].
Supposons que [tex]g[/tex] soit une autre solution de l'équation fonctionnelle, autrement dit [tex]5g(-x)+g(1-x)=2x[/tex] pour tout nombre réel [tex]x[/tex].
Alors, en soustrayant membre à membre, il vient [tex]5(g(-x)-f(-x))+(g(1-x)-f(1-x))=0[/tex]. Je définis [tex]h[/tex] comme étant égal à la fonction [tex]g-f[/tex], de sorte que [tex]g(x)=f(x)+h(x)[/tex] pour tout nombre réel [tex]x[/tex].
On a donc [tex]5h(-x)+h(1-x)=0[/tex] pour tout nombre réel [tex]x[/tex], soit en remplaçant [tex]x[/tex] par [tex]-x[/tex], [tex]h(x+1)=-5h(x)[/tex].
Il suffit donc de définir la fonction [tex]h[/tex] sur [tex][0;1[[/tex] comme on veut, et on peut alors la définir sur [tex][1;2[[/tex], sur [tex][2;3[[/tex], etc.
Conclusion :
Les solutions sont de la forme [tex]x\mapsto\dfrac 1{18}-\dfrac x3+h(x)[/tex], où [tex]h[/tex] est une fonction définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex] qui vérifie [tex]h(x+1)=-5h(x)[/tex] pour tout nombre réel [tex]x[/tex].
