Bonjour,
1) On néglige les frottements
⇒ Somme des forces extérieures = Poids
⇒ ma = -mg 2nde loi de Newton
⇒ a = -g (tout ce qui précède : en vecteurs)
En intégrant : a = dv/dt ⇒ V = gt + V₀
En projetant dans le repère (O,i,j) :
Vx = V₀cos(α) et Vy = -gt + V₀sin(α)
Vx = dx/dt et Vy = dy/dt
⇒ x(t) = V₀cos(α)t (à t = 0, x = 0)
et y(t) = -gt²/2 + V₀sin(α)t (de même, à t = 0, y = 0)
On en déduit : t = x/V₀cos(α)
et y = -g[x/V₀cos(α)]²/2 + xV₀sin(α)/V₀cos(α)
Soit : y = -gx²/2V₀²cos²(α) + tan(α)x
Avec V₀ = 100 m.s¹ g = 10 m.s⁻² et α = 45° :
y = -10x²/2*100²*(2/4) + x = -x²/1000 + x
2) Sommet : dy/dx = 0
⇒ -gx/V₀²cos²(α) + tan(α) = 0
⇒ xS = tan(α)V₀²cos²(α)/g = sin(α)cos(α)V₀²/g
soit xS = √2/2 * √2/2 * 100²/10 = 500 m
je te laisse remplacer dans y... : yS = 250 m
3) V(V₀cos(α) ; -gt + V₀sin(α))
||V|| = √[(V₀cos(α))² + (-gt + V₀sin(α))²]
4) soit on dérive ce qui précède...soit on utilise les propriétés de la parabole pour déterminer la date à laquelle la trajectoire atteint le sommet S.
x(t) = V₀cos(α)t
⇒ tS = xS/V₀cos(α) = sin(α)V₀/g
Soit tS = √2/2 * 100/10 = 5√2 s
5) aT = ax + ay = ay = -g
6) C(800;160)
y = -gx²/2V₀²cos²(α) + tan(α)x
160 = -10*800²/2*100²cos²(α) + 800tan(α)
⇔ 160 = -320/cos²(α) + 800sin(α)/cos(α)
⇔ 160cos²(α) = -320 + 800sin(α)cos(α)
⇔ cos²(α) - 5sin(α)cos(α) + 2 = 0
... bof, pas très inspiré par cette résolution
on trouve : α ≈ 0,785 et α ≈ 0,983 en rad
7) yC > axC²+ b
yC = axC² + b
xC = +/-√[yC - b)/a]
à vue de nez en remplaçant dans y = -gx²/2V₀²cos²(α) + tan(α)x
on doit pouvoir conclure
plus trop de temps ce soir...
