Répondre :
Bonjour;
1.
(n+ 1)³ = (n + 1)(n + 1)² = (n + 1)(n² + 2n + 1)
= n³ + 2n² + n + n² + 2n + 1 = n³ + 3n² + 3n + 1 .
2.
Tu dois seulement rappeler la formule de la somme des n
premiers nombres entiers naturels non nuls :
1 + 2 + 3 + .... + n = n(n + 1)/2 .
Une démonstration de formule est comme suit :
Soit Tn = 1 + 2 + 3 + ........ + (n - 2) + (n - 1) + n .
On a aussi : Tn = n + (n - 1) + n - 2) + ......... + 3 + 2 + 1 .
On a donc : 2Tn = (1 + n) + (n + 1) + (n + 1) + .........+ (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)
= n(n + 1) ;
donc : Tn = n(n + 1)/ 2 .
Réponse :
Bonsoir,
3)
[tex]Soit\\S_n=1+2+3+...+n\\\\S^2_n=1^2+2^2+3^2+...+n^2\\\\S^3_n=1^3+2^3+3^3+...+n^3\\\\(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1\\n^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1\\(n-1)^3=3(n-2)^3+3(n-1)+1\\...\\\\3^3=2^3+3*2^2+3*2+1\\2^3=1^3+3*1^2+3*1+1\\1^3=0^3+3*0^2+3*0+1\\\\S^3_{n+1}=S^3_{n}+3*S^2_n+3*S_n+(n+1)\\\\S^3_{n+1}-S^3_{n}=3*S^2_n+3*S_n+(n+1)\\\\(n+1)^3=3*S^2_n+3*S_n+(n+1)\\\\3S^2_n=(n+1)^3-\dfrac{3*n(n+1)}{2}-n-1\\\\[/tex]
[tex]6S^2_n=2(n+1)^3-3*n(n+1)-2n-2\\\\6S^2_n=(n+1)[2(n+1)^2-3n-2]\\\\6S^2_n=(n+1)[2n^2+4n+2-3n-2]\\\\6S^2_n=(n+1)(2n^2+n)\\\\6S^2_n=n*(n+1)(2n+1)\\\\\boxed{S^2_n=\dfrac{n*(n+1)(2n+1)}{6}}\\[/tex]
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