Réponse : Bonjour,
1) Les droites [tex]d[/tex] et [tex]d'[/tex] sont sécantes, car elles n'ont pas le même coefficient directeur, en effet [tex]m \ne m'[/tex].
2) [tex]A(x_{A};y_{A})[/tex] est le point d'intersection des deux droites, donc au point A, les images des deux droites sont égales, d'où:
[tex]mx_{A}+p=m'x_{A}+p'[/tex].
3) B appartient à la droite [tex](d)[/tex], et pour abscisse [tex]x_{A}+1[/tex].
Donc l'ordonnée de B est l'image par la droite [tex](d)[/tex] de [tex]x_{A}+1[/tex], donc cette ordonnée est égale à [tex]m(x_{A}+1)+p=mx_{A}+m+p[/tex]. Donc [tex]B(x_{A}+1;mx_{A}+m+p)[/tex].
4) B' appartient à la droite [tex]d'[/tex], et a pour abscisse [tex]x_{A}+1[/tex], donc l'ordonnée de B' est l'image de [tex]x_{A}+1[/tex] par la droite [tex]d'[/tex], donc cette ordonnée est [tex]m'(x_{A}+1)+p'=m'x_{A}+m'+p'[/tex].
D'après la question 2: [tex]mx_{A}+p=m'x_{A}+p'[/tex]
Donc [tex]B'(x_{A}+1;m'+mx_{A}+p)[/tex].
5) [tex]AB^{2}=(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}=(x_{A}+1-x_{A})^{2}+(mx_{A}+m+p-(mx_{A}+p))^{2}=1+(mx_{A}+m+p-mx_{A}-p)^{2}=1+m^{2}\\AB'^{2}=(x_{B'}-x_{A})^{2}+(y_{B'}-y_{A})^{2}=(x_{A}+1-x_{A})^{2}+(m'x_{A}+m'+p'-(m'x_{A}+p'))^{2}=1+m'^{2}\\BB'^{2}=(x_{B'}-x_{B})^{2}+(y_{B'}-y_{B})^{2}=0^{2}+(mx_{A}+p+m'-(mx_{A}+m+p))^{2}=(mx_{A}+p+m'-mx_{A}-m-p)^{2}=(m'-m)^{2}[/tex].
6)a) Les droites [tex]d[/tex] et [tex]d'[/tex] sont perpendiculaires si et seulement si le triangle ABB' est rectangle en A. Donc d'après le théorème de Pythagore, si:
[tex]BB'^{2}=AB^{2}+AB'^{2}\\(m'-m)^{2}=1+m'^{2}+1+m^{2}\\m'^{2}-2m'm+m^{2}=1+m'^{2}+1+m^{2}\\-2m'm=2\\mm'=-1[/tex].
Donc si les droites [tex]d[/tex] et [tex]d'[/tex] sont perpendiculaires, alors [tex]mm'=-1[/tex].
b) On suppose que [tex]mm'=-1[/tex], démontrons que le triangle ABB' est rectangle en A.
On a:[tex]AB^{2}=1+m^{2}\\AB'^{2}=1+m'^{2}\\BB'^{2}=(m'-m)^{2}=m'-2m'm+m^{2}=m'^{2}-2 \times (-1)+m^{2}=m'^{2}+m^{2}+2\\Et \; AB^{2}+AB'^{2}=1+m^{2}+1+m'^{2}=2+m^{2}+m'^{2}\\Donc \; BB'^{2}=AB^{2}+AB'^{2}[/tex].
Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABB' est rectangle en A, donc si [tex]mm'=-1[/tex], les droites [tex]d[/tex] et [tex]d'[/tex] sont perpendiculaires.
