Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
1)
f(1)=1 car A(1;1) sur Cf.
f '(1) est le coeff directeur de la tgte en A qui passe par A(1;1) et le point (0;-1)
donc le coeff directeur est :
f ' (1)=(-1-1)/(0-1)=2
2)
a)
f(x)=a +b(lnx)/x
lnx/x est de la forme u/v avec :
u=lnx donc u '=1/x
v=x donc v '=1
(lnx/x) ' = (u'v-uv')/v²=(1/x * x - lnx)/x²=(1-lnx)/x²
Donc f '(x) = b(1-lnx)/x²
b)
f(1)=1 donne :
a+b*ln1/1=1 mais ln1=0 donc : a=1
f '(1)=2 donne :
b(1-ln1)/1²=2
b=2
Donc f(x)=1 + 2*lnx/x
3)
a)
Donc d'après 2)a) :
f '(x)=2*(1-lnx)/x²
Le déno est > 0, de même que le facteur "2"
donc f '(x) est du signe de (1-lnx) .
1-lnx > 0
lnx < 1
x < exp(1) ou x < e
x-------------->0...........................e.........................+inf
f ' (x)---------->................+............0........-..............
f(x)------------>.................C..........f(e)......D................
C=flèche qui monte
D=flèche qui descend.
b)
Il faut calculer la dérivée seconde.
f '(x)=2(1-lnx)/x²
(1-lnx)/x est de la forme u/v avec :
u=1-lnx donc u'=-1/x
v=x² donc v'=2x
f " (x)=2[(-1/x)x²-2x(1-lnx)] / x^4
f "(x)=2(-x-2x+2x*lnx) / x^4
f " (x)=(-3x+2x*lnx) / x^4
f " (x)=x(2lnx-3) / x^4
f "(x)=(2lnx - 3) / x³
Sur ]0;+inf[ , le déno est > 0 donc f " (x) est du signe de : 2lnx-3.
2lnx -3 > 0
lnx > 3/2
x > exp(3/2) ( soit x > 4.5 environ).
Donc f "(x) s'annule en changeant de signe pour x = exp(3/2) et :
f "(x) < 0 sur ]0;exp(3/2)]---->f(x) concave sur cet intervalle
f "(x) > 0 sur [exp(3/2);+inf[----->f(x) convexe sur cet intervalle.
