En déterminant la dérivée de f, fonction usuelle donc dérivable sur l'ensemble des réels, nous étudions la fonction :
[tex]f'(x)=-2x+1[/tex]
En cherchant à connaître le signe de cette fonction dérivée toujours sur le même ensemble des réels, nous trouvons :
[tex]f'(x)=0\,\,\Longleftrightarrow\,\, -2x+1=0\,\,\Longleftrightarrow\,\, \displaystyle x=\frac{1}{2}[/tex]
Finalement, en dressant le tableau des variations de [tex]f_{[-1;1]}[/tex], fonction f restreinte à l'intervalle en question et qu'on renomme f par commodité :
- le signe de f' sur [-1, 1] est positif ou nul sur [-1, 1/2] et négatif ou nul sur [1/2, 1].
- par théorie analytique, cela signifie que f est croissante sur [-1, 1/2] et décroissante sur [1/2, 1]. Par suite, cela implique que [tex]\displaystyle f \left(\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{4}[/tex] est le maximum de f sur [-1, 1] (et un maximum local de la fonction définie sur les réels) et le minimum de f sur [-1, 1] ne peut donc être que f(-1) ou f(1). Par calcul, nous en tirons que ce minimum est [tex]f(-1)=-2[/tex].
