Réponse : Bonsoir,
1) On a [tex]M(x;\frac{1}{x})[/tex].
2) [tex]m(x)=\frac{\frac{1}{x}-1}{x-1}=\frac{\frac{1-x}{x}}{x-1}=\frac{1-x}{x} \times \frac{1}{x-1}=\frac{-(x-1)}{x(x-1)}=-\frac{1}{x}[/tex].
3) [tex]x \in ]0;+\infty[[/tex], donc [tex]-\frac{1}{x} < 0[/tex], d'où [tex]m(x) < 0[/tex].
4) [tex]m(x)=-\frac{1}{x}[/tex], et cette fonction est croissante sur [tex]]0;+\infty[[/tex].
5) Je vous laisse tracer la courbe [tex]m(x)=-\frac{1}{x}[/tex], pour [tex]x \in ]0;+\infty[[/tex].
6) Résolvons l'équation [tex]m(x)=0[/tex]:
[tex]m(x)=0\\-\frac{1}{x}=0\\x \times 0=-1\\0=-1 \quad Contradiction[/tex].
On aboutit à une contradiction , donc on ne peut avoir [tex]m(x)=0[/tex].
7)a) Le point M doit être distinct du point A, car sinon, les deux points sont confondus, et il existe une infinité de droites passant par les points A et M.
b) Lorsque M est très proche de A, la droite (AM) est en dessous de la courbe [tex]x \mapsto \frac{1}{x}[/tex]. Faire la simulation avec geogebra ou la calculatrice.
