Bonjour;
1.
a.
2 # (- 3) = (2 + (- 3))/(1 + 2 * (- 3)) = (2 - 3)/(1 - 6) = (- 1)/(- 5) = 1/5 .
(- 2) # 3 = (- 2 + 3)/(1 + (- 2) * 3) = 1/(1 - 6) = 1/(- 5) = - 1/5 .
(- 2) # (- 3) = (- 2 + (- 3))/(1 + (- 2) * (- 3)) = (- 2 - 3)/(1 + 6) = (- 5)/7 = - 5/7 .
(5/3) # (3/2) = (5/3 + 3/2)/(1 + 5/3 * 3/2) = (10/6 + 9/6)/(1 + 5/2)
= (19/6)/(2/2 + 5/2) = (19/6)/(7/2) = 19/6 * 2/7 = 19/3 * 1/7 = 19/21 .
10² # [tex]10^{-2}[/tex] = (10² + [tex]10^{-2}[/tex])/(1 + 10² * [tex]10^{-2}[/tex])
= (100 + 0,01)/(1 + 100 * 0,01) = 100,01/(1 + 1) = 100,01/2 = 10001/200 .
b.
On a : 1 + 2 * (- 0,5) = 1 - 1 = 0 ; donc le dénominateur de l'expression :
2 # (- 0,5) = (2 + (- 0,5))/(1 + 2 * (- 0,5)) est nul , donc on ne peut pas
calculer 2 # (- 0,5) .
En général , on ne peut calculer l'expression a # b = (a + b)/(1 + ab)
si son dénominateur est nul , donc si 1 + ab = 0 ; donc si : ab = - 1 ;
2.
a.
On a : b # a = (b + a)/(1 + ba) = (a + b)/(1 + ab) = a # b ;
donc l'opération # est commutative .
Les opérations addition (+) et multiplication (x) sont commutatives car
on a : a + b = b + a et a x b = b x a .
b.
a # 1 = (a + 1)/(1 + a) = 1 ; donc a est un élément absorbant pour l'opération #.
0 est un élément absorbant pour la multiplication , car pour tout
a ∈ IR , on a : a x 0 = 0 .
c.
a # 0 = (a + 0)/(1 + 0) = a/1 = a ; donc 0 est l'élément neutre pour
l'opération #.
0 est l'élément neutre pour l'addition et 1 et l'élément neutre pour
la multiplication .
3.
a.
a # 7 = (a + 7)/(1 +7a) = 13 ;
donc : a + 7 = 13(1 + 7a) = 13 + 91a ;
donc : a - 91a = 13 - 7 ;
donc : - 90a = 6 ;
donc : a = 6/(- 90) = - 6/90 = - 1/15 .
donc : a = - 1/15 .
b.
a # b = - 5 ;
donc : (a + b)/(1 + ab) = - 5 ;
donc : a + b = - 5 - 5ab ;
donc : a + 5ab = - 5 - b = - (b + 5) ;
donc : a(1 + 5b) = - (b + 5) ;
donc : a = - (b + 5)/(5b + 1) .
Si b = - 5 ; on a : a = - (- 5 + 5)/(- 5 x 5 + 1) = 0 ; donc le
couple (0 ; - 5) est solution de l'équation .
Si b = 0 ; on a : a = - 5/1 = - 5 ; donc le couple (- 5 ; 0) est solution de l'équation . On aurait pu le trouver par commutativité de # .
Si b = 1 ; on a : a = - (1 + 5)/(5 + 1) = - 6/6 = - 1 ; donc le couple (- 1 ; 1) est solution de l'équation .
On peut trouver ainsi une infinité de couples qui sont solution de l'équation donnée .