f(x) = ax² + bx + c
il faut traduire les données
1) f'(3) = 1
on calcule f'(x)
f'(x) = 2ax + b
puis on écrit que f(3) = 1
6a + b = 1 (1)
2) f(1) = 2
on écrit que l'image de 1 est 2
f(1) = a + b + c d'où a + b + c = 2 (2)
3) f(-1) = 4
f(-1) = a - b + c d'où a - b + c = 4 (3)
on obtient un système de trois équations à trois inconnues
6a + b = 1 (1)
a + b + c = 2 (2)
a - b + c = 4 (3)
on le résout :
calcul de b
on soustrait membre à membre les équations (2) et (3) [ (2) - (3) ]
(a + b + c) - (a - b + c) = 2 - 4
2b = -2
b = -1
calcul de a
on remplace b par -1 dans l'équation (1) 6a + b = 1
6a - 1 = 1
6a = 2
a = 1/3
calcule de c
on utilise l'équation (2) a + b + c = 2
1/3 -1 + c = 2
c = 2 + 1 - 1/3
c = 9/3 - 1/3
c = 8/3
réponse : f(x) = (1/3)x² - x + 8/3
(la méthode consiste à traduire chaque donnée par une équation où les inconnues sont a, b et c puis à résoudre le système obtenu)
on peut vérifier en calculant f'(3), f(1) et f(-1)
