Réponse :
Explications étape par étape
Trois personnes, d'âges distincts, remarquent que si l'on ajoute deux à deux leurs âges de toutes les manières possibles, on obtient les carré de trois entiers successifs.
a + b = n^2
a + c = (n + 1)^2
b + c = (n + 2)^2
On soustrait les deux premières :
a - a + c - b = (n + 1)^2 - n^2
c - b = n^2 + 2n + 1 - n^2
c - b = 2n + 1
c = 2n + 1 + b = (n + 2)^2 - b
2b = n^2 + 4n + 4 - 2n - 1
2b = n^2 + 2n + 3
b = 1/2(n^2 + 2n + 3)
a = n^2 - 1/2(n^2 + 2n + 3)
a = n^2 - 1/2 n^2 - n - 3/2
a = 1/2 n^2 - n - 3/2
a = 1/2(n^2 - 2n - 3)
c = 2n + 1 + 1/2(n^2 + 2n + 3)
c = 2n + 1 + 1/2 n^2 + n + 3/2
c = 1/2 n^2 + 3n + 5/2
c = 1/2(n^2 + 6n + 5)
a = 1/2(n^2 - 2n - 3)
b = 1/2(n^2 + 2n + 3)
c = 1/2(n^2 + 6n + 5)
a # b # c et 31 < ? < 45
Ensuite il faut tester il est donc préférable d’utiliser une feuille Excel :
n = 3 => a = 1/2(3^2 - 2 * 3 - 3) = 0
b = 1/2(3^2 + 2 * 3 + 3) = 9
c = 1/2(3^2 + 6 * 3 + 5) = 16
Pas bon car un des 3 doit être compris entre 31 et 45
Je l’ai fait sur une feuille Excel donc je te donne le résultat mais tu devras également le faire et tester plusieurs combinaisons :
n = 7 => a = 1/2(7^2 - 2 * 7 - 3) = 1/2(49 - 14 - 3) = 1/2 * 32 = 16 ans
b = 1/2(7^2 + 2 * 7 + 3) = 1/2(49 + 14 + 3) = 1/2 * 66 = 33 ans
c = 1/2(7^2 + 6 * 7 + 5) = 1/2(49 + 42 + 5) = 1/2 * 96 = 48 ans
Donc ils ont respectivement :
16 ans, 33 ans et 48 ans
Et 33 est bien compris entre 31 et 45 ans
On vérifie :
16 + 33 = 49 = 7^2
16 + 48 = 64 = 8^2 = (7 + 1)^2
33 + 48 = 81 = 9^2 = (7 + 2)^2
