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Réponse :
soit f(x) = 2 x² + 6 x - 20 définie sur R
1) vérifier que pour tout x ∈R f(x) = (2 x - 4)(x + 5)
f(x) = 2 x² + 6 x - 20 = 0
Δ = 36 + 160 = 196 ⇒ √196 = 14 ⇒ 02 solutions distinctes
x1 = - 6 + 14)/4 = 8/4 = 2
x2 = - 6 - 14)/4 = - 20/4 = - 5
f(x) peut s'écrire sous la forme factorisée f(x) = a(x - x1)(x - x2)
f(x) = 2(x - 2)(x + 5)
= (2 x - 4)(x + 5)
2) vérifier que pour tout x ∈ R f(x) = 2( x +3/5)² - 49/2
f(x) = a(x - α)² + β forme canonique
α = - b/2a = - 6/4 = - 3/2
β = f(- 3/2) = 2(-3/2)² + 6(-3/2) - 20
= 18/4 - 18/2 - 20
= 18/4 - 29 = 18/4 - 116/4 = - 98/4 = - 49/2
f(x) = 2(x + 3/2)² - 49/2 et non f(x) = 2(x + 3/5)² - 49/2
3) choisi la forme adaptée pour:
a) calculer f(0) et f(-3/2)
f(0) = - 20 (forme développée utilisée)
f(-3/2) = - 49/2 (forme canonique utilisée)
b) résoudre f(x) = 0
on utilise la forme factorisée de f(x)
f(x) = (2 x - 4)(x + 5) = 0 Produit de facteurs nul
⇒ 2 x - 4 = 0 ⇒ x = 4/2 = 2 OU x + 5 = 0 ⇒ x = - 5
c) résoudre f(x) ≤ 0
f(x) = (2 x - 4)(x+5) ≤ 0 ⇒ 2 x - 4 ≤ 0 ⇒ x ≤ 2 et x+ 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ - 5
L'ensemble des solutions est S = [- 5 ; 2]
d) résoudre f(x) = - 20
on utilise la forme développée de f(x)
f(x) = 2 x² + 6 x - 20 = - 20 ⇔ 2 x² + 6 x = 0 ⇔ 2 x(x + 3) = 0
⇒ 2 x = 0 ⇒ x = 0 OU x +3 = 0 ⇒ x = - 3
4) dresser le tableau de variation de f en justifiant
pour dresser le tableau de variation on utilise la forme canonique de f(x)
f(x) = 2(x + 3/2)² - 49/2
x - ∞ - 3/2 + ∞
f(x) + ∞→→→→→→→→→→→→→ - 49/2 →→→→→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
Explications étape par étape
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