Bonjour,
1) il faut vérifier 3 conditions :
. f est continue sur R : C'est la cas car f(0) = 0 et f(π) = 0
. f est positive : ⇒ m > 0 car sin(x) ≥ 0 sur [0;π]
. Somme de -∞ à +∞ de f(x)dx = 1
Soit somme de 0 à π de f(x)dx = 1 car pour x ∉ [0;π], f(x) = 0
⇒ -mcos(x)dx entre 0 et π = 1 = 1
⇔ (-mcos(π)) - (-mcos(0)) = 1
⇔ m + m = 1
⇔ m = 1/2
⇒ f(x) = 1/2 * sin(x) sur [0;π]
2) ...
3) La fonction de répartition d'une variable aléatoire X définie par une fonction de densité f est la primitive de f qui s'annule en -∞ :
F(x) = p(X ≤ x) = Somme de -∞ à x de f(x)dx
Soit ici: F(x) = Somme de 1/2 * sin(x)dx entre 0 et x
(toujours car f(x) = 0 sauf sur [0;π])
= 1/2 * [1 - cos(x)]
voir ci-dessous
4) p(π/4 ≤ X ≤ 3π/4) = F(3π/4) - F(π/4)
= 1/2 * (1 + √2/2) - 1/2(1 - √2/2)
= √2/2
5) F(0) = 0 ⇒ p(X ≤ 0) = 0
et p(X ≥ 0) = 1 - p(X ≤ 0) = 1
