Réponse : Bonjour,
1) Le triangle DQR est rectangle isocèle en D. Donc l'aire du triangle DQR, [tex]\mathcal{A}_{DQR}=\frac{DQ \times DR}{2}=\frac{(6-x)^{2}}{2}[/tex].
La hauteur [tex]DP=x[/tex].
2) [tex]V(x)=\frac{1}{3} \times \frac{(6-x)^{2}}{2} \times x=\frac{1}{6}(x(6-x)^{2})=\frac{1}{6}(x(36-12x+x^{2}))=\frac{1}{6}(36x-12x^{2}+x^{3})=\frac{1}{6}x^{3}-2x^{2}+6x[/tex].
3) D'une part: [tex]V(x)-V(2)=\frac{1}{6}x^{3}-2x^{2}+6x-(\frac{1}{6}2^{3}-2 \times 2^{2}+6 \times 2)=\frac{1}{6}x^{3}-2x^{2}+6x-\frac{8}{6}+8-12=\frac{1}{6}x^{3}-2x^{2}+6x+\frac{-8+48-72}{6}=\frac{1}{6}x^{3}-2x^{2}+6x-\frac{32}{6}=\frac{1}{6}x^{3}-2x^{2}+6x-\frac{16}{3}[/tex]
D'autre part: [tex]V(x)-V(2)=\frac{1}{6}(x-8)(x-2)^{2}=\frac{1}{6}((x-8)(x^{2}-4x+4))=\frac{1}{6}(x^{3}-4x^{2}+4x-8x^{2}+32x-32)=\frac{1}{6}(x^{3}-12x^{2}+36x-32)=\frac{1}{6}x^{3}-2x^{2}+6x-\frac{16}{3}[/tex].
Les deux quantités sont égales, donc:
[tex]V(x)-V(2)=\frac{1}{6}(x-8)(x-2)^{2}[/tex].
4) Pour tout [tex]x \in [0;6][/tex], [tex]V(x)-V(2)=\frac{1}{6}(x-8)(x-2)^{2}[/tex], est du signe de [tex]x-8[/tex], car [tex]\frac{1}{6}(x-2)^{2} \geq 0[/tex], car un carré est toujours positif, et [tex]\frac{1}{6}>0[/tex].
Pour tout [tex]x \in [0;6], x-8 < 0[/tex], donc [tex]V(x)-V(2) \leq 0[/tex], et donc pour tout [tex]x \in [0;6], V(x) \leq V(2)[/tex].
Donc le volume maximal de DPQR est [tex]V(2)=\frac{16}{3} \; cm^{3}[/tex].
