Réponse : Bonsoir,
1)a) Le triangle CMN est rectangle en C, d'après le théorème de Pythagore:
[tex]MN^{2}=CM^{2}+CN^{2}\\MN^{2}=(1-x)^{2}+(1-y)^{2}\\MN^{2}=1-2x+x^{2}+1-2y+y^{2}\\MN^{2}=x^{2}+y^{2}-2x-2y+2[/tex].
b) On calcule d'abord MT.
Par définition de la tangente en T au cercle C, cette tangente est perpendiculaire à [AT].
Donc le triangle ATM est rectangle en T. On connait AT=1, puisque c'est un rayon du cercle, on veut MT, mais on ne connait pas AM.
Calculons AM.
Le triangle ADM est rectangle en D, donc d'après le théorème de Pythagore:
[tex]AM^{2}=AD^{2}+DM^{2}\\AM^{2}=1^{2}+x^{2}\\AM^{2}=1+x^{2}[/tex].
On en revient au triangle ATM rectangle en T, d'après le théorème de Pythagore, dans ce triangle:
[tex]AM^{2}=AT^{2}+MT^{2}\\MT^{2}=AM^{2}-AT^{2}\\MT^{2}=1+x^{2}-1^{2}\\MT^{2}=x^{2}\\MT=x[/tex].
On calcule maintenant TN.
Comme fait précédemment, le rayon [AT] est perpendiculaire à la tangente en T, donc le triangle ATN est rectangle en T. D'après le théorème de Pythagore, dans ce triangle:
[tex]AN^{2}=AT^{2}+TN^{2}[/tex].
On connait AT=1, on cherche TN, mais on ne connait pas AN.
Calculons AN.
Dans le triangle ABN rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore:
[tex]AN^{2}=AB^{2}+BN^{2}\\AN^{2}=1+y^{2}[/tex].
On en revient au triangle ATN rectangle en T, d'après le théorème de Pythagore, dans ce triangle:
[tex]AN^{2}=AT^{2}+TN^{2}\\TN^{2}=AN^{2}-AT^{2}\\TN^{2}=1+y^{2}-1^{2}\\TN^{2}=y^{2}\\TN=y[/tex].
c) On a:
[tex]MN^{2}=x^{2}+y^{2}-2x-2y+2=(x+y)^{2}\\MN^{2}=x^{2}+y^{2}-2x-2y+2=x^{2}+2xy+y^{2}\\x^{2}+y^{2}-2x-2y+2=x^{2}+2xy+y^{2}\\-2x-2y+2-2xy=0\\2(-x-y+1-xy)=0\\-x-y+1-xy=0\\-y-xy=x-1\\y(-1-x)=x-1\\y=\frac{x-1}{-1-x}[/tex].
d) [tex]MN=x+y\\MN=x+\frac{x-1}{-1-x}\\MN=\frac{x(-1-x)+x-1}{-1-x}\\MN=\frac{-x-x^{2}+x-1}{-1-x}\\MN=\frac{-x^{2}-1}{-1-x}=\frac{-(x^{2}+1)}{-(1+x)}=\frac{x^{2}+1}{x+1}[/tex]
