Bonjour ;
4.
a.
On a : Mp = 1 + 10 + 10² + ...... + 10^(p - 1) avec p ∈ IN* .
Mp est une somme de nombres entiers naturels non nuls , donc Mp ∈ IN* .
On a : Mp = 1 + 10 + 10² + ...... + 10^(p - 1)
= (10^p - 1)/(10 - 1) = (10^p - 1)/9 ;
donc : 10^p - 1 = 9Mp ;
donc : 10^p = 9Mp + 1 ;
donc : 10^p ≡ 1 [9Mp] .
b.
On a : 10^p ≡ 1 [9Mp] ;
donc : (10^p)^n ≡ 1^p [9Mp] ;
donc : donc : 10^n ≡ 1 [9Mp] ;
donc : 10^n - 1 ≡ 0 [9Mp] ;
donc : (10^n - 1)/9 ≡ 0 [9Mp] ;
donc : Mn ≡ 0 [9Mp] ;
donc 9Mp divise Mn .
c.
9Mp divise Mn ; donc il existe k ∈ IN tel que : Mn = k x 9Mp = = 9k x Mp ;
donc Mp divise Mn .
d.
Si n n'est un nombre premier , donc il exite p et q deux nombres entiers
naturels différents de 1 tels que : n = pq ;
donc : p < n ;
donc : Mp < Mn :
donc : Mp < Mn = k Mp avec k ∈ IN ;
donc : 1 < k ;
donc : Mn = k Mn est un nombre non premier , ce qui contredit
l'hypothèse , donc si Mn est premier alors n est premier .
