Bonjour,
Partie 1
1) (E) : y' + (1/RC)y = E/R
a) y' + (1/RC)y = 0
⇔ y'/y = -1/RC
⇒ en "primitivant" de chaque côté,
ln(|y|) = -t/RC + K
⇒ solutions de l'équation sans 2nd membre : y = ke^(-t/RC)
b) g(t) = a ⇒ g'(t) = 0
g solution de (E) ⇒ (1/RC)a = E/R
⇔ a = CE
soit g(t) = CE
⇒ Solutions de (E) : y(t) = CE + ke^(-t/RC)
2) a) A t = 0⁻, l'interrupteur est ouvert ⇒ q = 0
Condition initiale : y(0) = 0 (C)
b) y(0) = 0
⇔ CE + ke^(-t/RC) = 0
⇔ CE + k = 0
⇒ k = -CE
⇒ q(t) = CE(1 - e^(-t/RC ))
c) i(t) = dq/dt = -(E/R) x e^(-t/RC)
Partie 2
1) q(t) = CE(1 - e^(-t/RC ))
E = 10 V, R = 1000 Ω et C = 10⁻⁴ F
⇒ q(t) = 10⁻³(1 - e^(-10t))
et i(t) = 10⁻²e^(-10t)
2) lim q(t) en +∞ = 10⁻³ C
et q croissante sur [0 ; +∞[ car q'(t) = dq/dt = i(t) < 0
3) lim i(t) en +∞ = 0
et i'(t) = -10⁻¹e^(-10t) < 0 ⇒ i(t) décroissante sur [0 ; +∞[
4) i(t₀) = 10⁻³ A
⇔ 10⁻²e^(-10t₀) = 10⁻³
⇔ e^(-10t₀) = 0,1
⇒ -10t₀ = ln(0,1)
⇔ t₀ = -ln(0,1)/10 ≈ 0,23 s
5) a) primitive de i² = [10⁻²e^(-10t)]² = 10⁻⁴ x e^(-20t)
= 10⁻⁴ x (-1/20) x e^(-20t)
b)
W = 100 x [10⁻⁴ x (-1/20) x e^(-20t₀) - 10⁻⁴ x (-1/20) x e^(0)]
= -(10⁻²/20) x [e^(-20ln(0,1)/10) - 1]
= 5.10⁻⁴ x [100 - 1]
= 0,0495 J
c) comprend pas trop cette question
