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résolu

suites, mathématiques 1S:
Je bloque totalement :/ merci beaucoup pour l'aide que vous m'apporterez

Un maraîcher désire renouveler progressivement sa culture de fraises. Pour cela, il plante chaque année 30 nouveaux plants, sachant que, chaque année, 8 % des anciens plants meurent naturellement. On admet que chaque plan produit chaque année, en moyenne, 10 fraises de sorte que l’on admettra que k plans produisent 10k fraises par an. En 2018, il possède 150 plants de fraisiers. On appelle un le nombre de fraises produites l’année 2018 + n. Par exemple, u0 = 150 × 10 = 1500.

1.Calculer u1 , u2 et u3
2. Montrer que, pour tout n de , un+1 = 0,92un + 300.
3. On considère la suite (vn ) définie par : vn = un − 3750.
a. Calculer v0, v1, v2 et v3.
b. Démontrer que la suite (vn) est géométrique.
c. Exprimer vn en fonction de n.
d. En déduire une expression de un en fonction de n.
4. Montrer que : u0 +u1+...+un =3750 (n+1) −28125(1−0,92^n+1).
Combien de fraises seront-elles produites entre le 1er janvier 2018 et le 31 décembre 2028 ?

Répondre :

BERNIE76VIZ

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

J'ai souffert avec ta faute de frappe : 30  plants d'abord puis 300 ensuite !! Ce doit être 300. Mais j'ai dû corriger plein de lignes car j'avais commencé avec 30.

1)

Nb de plants en 2019 : 150*(1-8/100)+300=150*0.92+300=438

U(1)=438*10=4380

Nb de plants en 2020 : 438*0.92+300 ≈ 703

U(2)=703*10=...

Nb de plants en 2021 : 703*0.92+300 ≈ ...

U(3)=....

2)

D'une année sur l'autre , une perte de 8/100 signifie que le nombre de fraisiers restant est celui de l'année précédente multiplié par (1-8/100) soit 0.92 auquel il faut ajouter 300 fraisiers supplémentaires.

Donc : U(n+1)=0.92*U(n)+300

3)

a) V(0)=U(0)=1500-3750=-2250

Je te laisse faire la suite.

b)

V(n+1)=U(n+1)-3750=0.92*U(n)+300-3750=0.92*U(n)-3450

V(n+1)=0.92[U(n)-3750]

V(n+1)=0.92*V(n)

Ce qui prouve que V(n) est une suite géométrique de raison q=0.92 et de 1er terme V(0)=-2250

c)

On sait alors que :

V(n)=V(0)*q^n soit :

V(n)=-2250*0.92^n

d)

Donc :

U(n)=-2250*0.92^n +3750

4)

U(0)+U(1)+U(2)+.....+U(n)=

-2250*0.92^0+3750-2250*0.92^1+3750-2250*0.92^2+3750+.....-2250*0.92^n+3750

On a donc (n+1) fois le nombre 3750.

Ensuite il nous faut calculer après avoir mis " -2250" en facteur :

S=0.92^0+0.92^1+0.92^2+....+0.92^n

Il s'agit de la somme de  (n+1) termes d'une suite géométrique de raison q=0.92 et de 1er terme 1 ( car 0.92^0=1).

Le cours donne la formule :

S=1er terme * (1-q^nb de termes )/ (1-q)=1*[1-0.92^(n+1)] / 0.08

S=(1/0.08)*[1-0.92^(n+1)]

S=12.5*[1-0.92^(n+1)]

Mais il nous faut calculer :

-2250*0.92^0-2250*0.92^1-2250*0.92^2-.....-2250*0.92^n

qui vaut donc : -2250*12.5*[1-0.92^(n+1)]=-28125*[1-0.92^(n+1)]

Donc :

U(0)+U(1)+...+U(n)=3750*(n+1)-28125*[1-0.92^(n+1)]

Ce qui donne pour U(0)+U(1) +..+U(10) ,  de 2018 à 2028 :

Total=3750*11-28125*(1-0.92^11) ≈ 24765 fraises.

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