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résolu

Bonjour à tous j'aurai besoin un peu d'aide pour ce devoir merci d'avance
Exercice 1 (6 points) Le carré ABCD a un côté de longueur 8 cm. Le point M appartient au segment [AB). On dessine comme ci-après dans le carré ABCD : ►  un carré de côté [AM] ; ►  un triangle isocèle de base [MB] et dont la hauteur a même mesure que le côté [AM] du carré. On pose x = AM. 1. Montrer que l’aire du triangle est égale à : − + 0 5 , x x 2 4 2. Est-il possible que l’aire du triangle soit égale à l’aire du carré de côté [AM] ? Si oui préciser dans quels cas. 3. Est-il possible de faire en sorte que l’aire du triangle soit la plus grande possible ? Si oui, préciser dans quel cas. 4. Est-il possible de faire en sorte que l’aire du triangle soit plus grande que l’aire du carré de côté AM ? Si oui, préciser dans quel cas.

Répondre :

Bonjour ;

1.

On a : MB = AB - AM = 8 - x ;

donc l'aire du triangle est : 1/2 x(8 - x) = 4x - x²/2 .

2.

L'aire du carré est : x² ;

donc l'aire du triangle est égale à l'aire du carré , si : x² = 4x - x²/2 ;

donc : 3/2 x² = 4x ;

donc : 3/2 x² - 4x = 0 ;

donc : x(3/2 x - 4) ;

donc : x = 0 ou 3/2 x - 4 = 0 ;

donc : x = 0 ou 3/2 x = 4 ;

donc : x = 0 ou x = 8/3 cm .

3.

Soit f la fonction définie [0 ; 8] par : f(x) = 4x - x²/2 ;

donc : f ' (x) = 4 - x ;

donc f est maximale si f ' (x) est nulle ;

donc si : 4 - x = 0 ;

donc si : x = 4 cm .

4.

L'aire du triangle est supérieure à l'aire du triangle si : 4x - x²/2 > x² ;

donc si : 4x - 3/2 x² > 0 ;

donc si : x(4 - 3/2 x) > 0 ;

donc si : 4 - 3/2 x > 0 on a divisé par x car on a x> 0 ;

donc si : 4 > 3/2 x ;

donc si : 8/3 > x .

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