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résolu

Bonjour, énonçé : une roue de loterie se compose de secteurs identiques de trois couleurs identiques: rouge, blanc et vert.Un joueur fait tourner la roue devant un repère fixe ; chaque secteur a la même probabilité de s'arrêter devant ce repère.
Si le secteur est rouge, le joueur gagne 16 euros
Si le secteur est blanc, il perd 12 euros
Si le secteur est vert, il lance une 2 ième fois la roue:
Si le secteur est rouge, il gagne 8 euros
S'il est blanc, il gagne 2 euros
S'il est vert, il ne gagne rien et ne perd rien.
La roue se compose de 3 secteurs rouges, 4 secteurs blancs et n secteurs verts (n supérieur ou égal à 1)
Soit Xn la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le gain algébrique du joueur.
1- Déterminer la loi de probabilité de Xn
2- Calculer l'espérance mathématique de Xn, en fonction de n.
3- Etudier le sens de variation de la fonction numérique f définie sur (0;+ infini) par f(x)=x/(x+7) au carré
4- En déduire pour quelle valeur de l'entier n l'espérance mathématique de Xn est maximale?
Quelle est la valeur correspondante de E(x)?
Un grand merci pour votre aide. Bon week-end.

Répondre :

Réponse : Bonjour,

1) Loi de probabilité de Xn:

x                 -12              0                   2                     8                  16

P(Xn=x)     4/(7+n)       n²/(7+n)²      4n/(7+n)²        3n/(7+n)²    3/(7+n)

2) On a:

[tex]E(X_{n})=\frac{4}{7+n} \times (-12)+\frac{n^{2}}{(7+n)^{2}} \times 0+\frac{4n}{(7+n)^{2}} \times 2+\frac{3n}{(7+n)^{2}} \times 8+\frac{3}{7+n} \times 16\\E(X_{n})=-\frac{48}{7+n}+\frac{8n}{(7+n)^{2}}+\frac{24n}{(7+n)^{2}}+\frac{48}{7+n}=\frac{-48(7+n)+8n+24n+48(7+n)}{(7+n)^{2}}=\frac{32n}{(7+n)^{2}}[/tex].

3) On calcule la fonction dérivée f':

[tex]f'(x)=\frac{1(x+7)^{2}-2(x+7)x}{(x+7)^{4}}=\frac{x^{2}+14x+49-2x^{2}-14x}{(x+7)^{4}}=\frac{-x^{2}+49}{(x+7)^{4}}=\frac{(7-x)(7+x)}{(7+x)^{4}}=\frac{7-x}{(7+x)^{3}}[/tex].

[tex](7+x)^{3}>0[/tex], pour tout [tex]x \in [0;+\infty[[/tex], donc [tex]f'(x)[/tex] est du signe de 7-x, sur [tex][0;+\infty[[/tex].

On a:

x         0                           7                                +∞

f'(x)                   +             Ф               -

f(x)          (croissant)              (décroissant)

4) D'après la question précédente, la fonction [tex]n \mapsto \frac{n}{(n+7)^{2}}[/tex] a un maximum pour n=7, donc pour n=7, l'espérance mathématique de Xn est maximale, et la valeur correspondante de E(X) est:

[tex]E(X)=32 \times \frac{7}{(7+7)^{2}}=32 \times \frac{7}{14^{2}}=32 \times \frac{7}{196}=32 \times \frac{1}{28}=\frac{8}{7} [/tex]

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